転置行列
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転置行列(てんちぎょうれつ、英: transpose [of a matrix], transposed matrix)とは、m 行 n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えてできる n 行 m 列の行列のことである[1]。転置行列は tA, AT, A⊤, Atr, A′ などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置(てんち、英: transpose)といい、「A を転置する」などと表現する。
特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。
定義
[編集]m × n行列
の転置行列 tA は
で定義される。このとき tA は n × m行列である。
性質
[編集]A, B は行列、k, l はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。
- 転置の転置は元の行列を与える[1](対合性):t tA = A
- 和の転置は転置の和を与える[1](加法性):t(A + B) = tA + tB
- 行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える[1](斉次性):t(kA) = k tA
- 斉次性および加法性から線型性が成り立つ:t(kA + lB) = k tA + l tB
- 積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える[1]:t(AB) = tB tA
- 正方行列の性質
- 逆行列の転置は転置の逆行列を与える[2]:t(A−1) = (tA)−1
- n 次正方行列 A の跡を tr A で表すと tr A = tr tA
- n 次正方行列 A の行列式を det A で表すと det A = det tA[3]
- n 次実正方行列 A, n 次ベクトル x, y に対して、標準内積を ⟨·, ·⟩ で表すと、⟨Ax, y⟩ = ⟨x, tAy⟩
転置行列により定義される行列
[編集]転置により定義される特別な行列として以下がある[4]。
これらの行列はそれぞれ随伴行列(行列のエルミート共役)に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。
線形写像との関係
[編集]詳細は「転置写像」を参照
m × n 行列 A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f : V → W とみなすとき、A の転置行列 tA には f の転置写像 tf が対応する。これは W の双対空間 W* から V の双対空間 V* への線形写像 tf : W* → V* で、y* ∈ W* に対して
によって定義される[5]。この定義は y ∈ W と y* ∈ W* の自然なペアリングを y*(y) = ⟨y, y*⟩ と表記すれば、x ∈ V に対して
という関係式によって書き直すこともできる[6]。
脚注
[編集]出典
[編集]参考文献
[編集]- ニコラ・ブルバキ (1998) [1970]. Algebra I. Chapters 1-3. Elements of Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9. MR1727844. Zbl 0904.00001
- 斎藤正彦『線形代数学』(第3版)東京図書、2017年4月10日。ISBN 978-4-489-02179-4。