相対的内部

数学において、集合の相対的内部（そうたいてきないぶ、英: relative interior）は、集合の内部の概念を精錬したもので、高次元空間内の低次元集合を扱う際にしばしば有用となる。直観的に、与えられた集合の相対的内部とは、その集合の（その集合を含む最小の部分空間に相対する意味での）「へり」にない全ての点からなる。

厳密には、集合 $S$ の相対的内部 $relint(S)$ は、 $S$ のアフィン包の中で考えた $S$ の内部^[1]、すなわち

\operatorname {relint} (S):=\{x\in S:\exists \epsilon >0,N_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\}

として定義される。ここで $aff(S)$ は $S$ のアフィン包であり、 $N ε (x)$ は $x$ を中心とする半径 $ε$ の球である。球の構成には任意の距離を用いてよい（即ち、すべての距離函数が相対的内部として同じ集合を定義する）。

任意の空でない凸集合 $C \subseteq R n$ に対して、相対的内部は次で定義される。

\operatorname {relint} (C):=\{x\in C:\forall {y\in C}\;\exists {\lambda >1}:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}

^[2]^[3].

参考文献

^ Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR1921556
^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 47. ISBN 978-0-691-01586-6
^ Dimitri Bertsekas (1999). Nonlinear Programming (2 ed.). Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. p. 697. ISBN 978-1-886529-14-4

Boyd, Stephen; Lieven Vandenberghe (2004). Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. p. 23. ISBN 0-521-83378-7

[Zalinescu-1] Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR1921556

[2] Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 47. ISBN 978-0-691-01586-6

[3] Dimitri Bertsekas (1999). Nonlinear Programming (2 ed.). Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. p. 697. ISBN 978-1-886529-14-4

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関連項目

参考文献