写像

写像（写像、mapping, map）とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、一つずつ他方の集合の元を指定して結びつける対応関係のことである。

解析学に表れる写像は、しばしば関数と呼ばれる。関数については関数 (数学)も参照されたい。

素朴な定義

A の任意の元 a に対して B のただひとつの元 b = f(a) を指定するような規則 f のことをいう。このような時、f を A から B への写像であるといい

$f\colon A\to B$

と表す。A, B のことをそれぞれ始域、終域という。始域のことをまた定義域ともいう（本来独立に定義されるものである。下の「集合論的な写像の定義」の項を見よ）。また f(A) := {f(a) | a ∈ A} のことを値域という。これは B の部分集合である。

B' を B の部分集合とするとき、f ^-1(B' ) :={a ∈ A | f(a) ∈ B' } を B' の逆像（または原像）という。f が逆写像をもたなくても逆像は対応として定義できることに注意されたい。

集合論的な写像の定義

写像にはグラフがつきまとうものである。しかも、グラフは規則やら指定などといった言葉を要さずに、単純に集合としてみることができる。それを逆に利用して、グラフを使って写像を定義するというのが、集合論的な写像の定義の指針である。ただ、注意すべきなのは、二次関数 f(x) = x² が実数から実数への写像なのか、実数から 0 以上の実数への写像なのか、というのを区別できるようにしたい。これらを踏まえて、集合論では写像は次のように定義される；

集合 A（始域 と呼ぶ）、B（終域 と呼ぶ） が与えられたとき、その直積 A × B の部分集合 G_f （これをグラフと呼ぶ）ともと集合との三つの組 f = (G_f, A, B) は、ある A の元に対していくつかの B の元を指定するような対応を表す。そのためには、G_f の元 (a, b) は a が b に対応することを表す、とみればよい。pr_A(G_f) := {a | (a, b) ∈ G_f} を定義域 とよぶ（pr は projection からとったものである。詳しくは、射影の記事を参照）。

この G_f について、

1. A の各元 a に対して B のある元 b が少なくとも一つ存在して (a, b) ∈ G_f 。（ここから始域と定義域とは一致する）
2. そのような b は一つしかない。（多価でない）

が成り立てば、その b を f(a) と書き、 f = (G_f, A, B) を写像という。 二つの写像が等しいとは、それらを集合としてみたときに等しい、というのと同じである。

対応としてみれば、写像は一意対応と同じことである。ただしその場合、b = f(a) は {b} = f(a) の略記であると理解する。

自明な写像

• A の任意の元 a に対して a 自身を対応させると、これは A から A への写像になる。この写像を恒等写像 (identity mapping) といい、I_A とか id_A などと表す。
• B を A の部分集合とするとき、B の任意の元 b に対して b 自身を A の元として対応させる B から A への写像を包含写像 (inclusion mapping) という。
• f: A → B とする。A の部分集合 A' について、A' の元 a に対して B の元 f(a) を対応させると、これは A' から B への写像になる。この写像を f の A' への制限写像といい、f|_A' と表す。

写像の合成

二つの写像 f: A → B, g: C → D を考える。 B が C の部分集合であるとき、A の任意の元 a に対してg(f(a)) は D のある一つの元になる。こうして決まる写像を f と g との合成写像といい、$g\circ f$と表す。上の集合論的な定義からは

$G_{g\circ f}=\left\{(a,d)\mid \exists x\in B\quad (a,x)\in G_{f},(x,d)\in G_{g}\right\}$

が合成写像のグラフであり、 $g\circ f=(G_{g\circ f},A,D)$ となる。 合成写像について、

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

が成り立つ：すなわち、写像の合成は結合法則を満たす。このことから、次のことが分かる； A からそれ自身への写像全体の集合はモノイドをなす。このモノイドを M(A) と表す。

全射・単射・全単射

• f: A → B について f(A) = B が成り立つとき（つまり値域と終域が一致するとき）、 f を全射という。
• 任意の A の元 a₁, a₂ に対して、a₁ ≠ a₂ ならば f (a₁) ≠ f (a₂) が成り立つとき、 f を単射という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。
• 全射で単射な写像のことを全単射という。

逆写像

f を A から B への全単射とする。f(a) = b によって、「b を a に」対応させると、f は全射だから、全ての b がある a に対応していて、f が単射であることからそのような a は一つしかないことが分かる。こうして作られる写像を f の逆写像といい、f^-1 と表す。構成から、

$f^{-1}\circ f=I_{A},\quad f\circ f^{-1}=I_{B}$

であることが分かる。

A からそれ自身への全単射全体の集合を S とすると、写像の合成は結合法則を満たし、また任意の全単射が逆写像を持つから、これは群をなす。このような群を S(A) と表す。特に A が有限集合の場合、A の基数（濃度、元の数のこと）を n とすると、S(A) のことを n 次対称群という。

f: A → B, g: C → D について、f と g が合成可能で、$g\circ f:A\to D$ が全単射であったとしよう。すると、任意の D の元 d に対して C のある元 c が対応していて g(c) であるから、結局 g は全射であることが分かる。さらに、f が単射でなければ、$g\circ f$ も単射でないことが容易に分かるので、（対偶をとって）仮定から、f が単射であることが分かる。

このことの逆も次の意味で成り立つ。

f: A → B が全射であるとき、（選択公理を仮定すると）ある B から A への写像 r が存在して合成

$f\circ r\colon B\to B$

は恒等写像 I_B に等しくなる。この r のことを、f の右逆写像という。

今度は f: A → B が単射であるとしよう。このとき、ある B から A への写像 l が存在して合成

$l\circ f\colon A\to A$

は I_A に等しくなる。この l のことを、f の左逆写像という。

この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる；

写像 f が右逆写像を持つとき、f を全射といい、f が左逆写像を持つとき、f を単射という。

圏論では射 (morphism) の全射と単射はこのようにして定義される。

関連項目

• 集合
• 関数 (数学)