最小多項式 (線型代数学)

数学の線型代数学において、体 $F$ 上の有限次元線形空間上の線形変換 $T$ の最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）とは、 $T$ が零点（ $T$ で零行列）となる $F$ -係数多項式のうち、モニック多項式（最高次係数が $1$ ）で次数が最小のもののことである。特に正方行列 $A$ に対して定義される。

$A$ の最小多項式を $p (x)$ とすると、 $q (A) = 0$ となる $F$ -係数多項式 $q (x)$ は、最小多項式 $p (x)$ で割り切れる。

次の3つの主張は同値である：

$λ \in F$ は、 $A$ の最小多項式 $p (x)$ の根である。
$λ \in F$ は、 $A$ の固有多項式の根である。
$λ \in F$ は、 $A$ の固有値である。

$A$ の最小多項式 $p (x)$ における根 $λ$ の重複度は、 $λ$ に対応する $A$ のジョルダン細胞の最大次数を表す。

一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、 $2 I n$ を考える（ $I n$ は $n$ 次単位行列）。この行列の固有多項式は $(x - 2) n$ である。一方、最小多項式は $x - 2$ である。従って、 $n \geq 2$ ならば、 $2 I n$ の最小多項式と固有多項式は一致しない。

ケイリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。

定義

体 $F$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ 上の線型変換 $T$ に対し、

I_{T}=\{p\in \mathbf {F} [x]\mid p(T)=0\}

とおく。ここで $F [x]$ は、 $F$ 上の一変数多項式環を表す。 $I_{T}$ は、 $F [x]$ の真のイデアルとなる。 $F$ は体だから $F [x]$ は主イデアル整域であり、任意のイデアルは F の単元倍を除いて一意的な1つの多項式によって生成される。したがって特に $I T$ の生成元としてモニック多項式をとることができ、これを $T$ の最小多項式と言う。最小多項式は、 $I_{T}$ 中のモニック多項式の中で次数が最小のものである。

応用

体 $F$ 上の線形空間での線型変換 $T$ が対角化可能であることと、すべてのジョルダン細胞の次数が $1$ であることは同値である。従って、線型変換 $T$ が対角化可能であるための必要十分条件は、 $T$ の最小多項式が $F$ 上で一次式の積に分解し、すべての根の重複度が $1$ であることである。

計算法の一例

体 F 上のベクトル空間 V とその線型変換 T および V の元 v に対して、

I_{T,v}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid v\in \operatorname {Ker} p(T)\}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid p(T)(v)=0\}

と定義する。これは、F[t] の自明でないイデアルとなる。 $\mu _{T,v}$ を、このイデアルを生成するモニック多項式とする。

この多項式は次の性質を満たす。

$I_{T,v}$ は $I_{T}$ を含む。
$d$ を、 $v,T(v),\ldots ,T^{d}(v)$ が線型独立となるような最大の自然数とする。このとき、ある $\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbf {F}$ が存在して、

\alpha _{0}v+\alpha _{1}T(v)+\dotsb +\alpha _{n}T^{d}(v)+T^{d+1}(v)=0

が成り立ち、さらに

\mu _{T,v}(t)=\alpha _{0}+\alpha _{1}t+\dotsb +\alpha _{n}t^{d}+t^{d+1}

となる。

V の1つの基底 $(v 1, \dots, v n)$ を取ったとき、T の最小多項式は、すべての $\mu _{T,v_{i}}$ たちの公約元である。

参考文献

斎藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年3月31日。ISBN 978-4-13-062001-7。
Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211 (3rd rev. ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4613-0041-0

定義

応用

計算法の一例

関連項目

参考文献