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射影集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
射影階層から転送)

数学の記述集合論において、ポーランド空間 の部分集合 射影集合(しゃえいしゅうごう、Projective hierarchy)であるとは、それがある正整数 についての 集合であることをいう。ここで、

  • 集合であるとは、解析集合であること。
  • 集合であるとは、 の補集合 集合であること。
  • 集合であるとは、あるポーランド空間 集合 について、 の射影となること; すなわち、 となること。

射影集合のクラスの列 (n=1,2,……)は包含関係に関する狭義単調増加列になる。射影集合全体がなしているこの階層構造を射影階層と呼ぶ。第三節のポーランド空間 が何であるかは重要ではなく、不可算なポーランド空間(ベール空間, カントール空間, 実数直線等)を一つ固定しておいても良い。

解析的階層との関連

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ベール空間の部分集合がなす相対化された解析的階層と、ベール空間の部分集合がなす射影階層との間には密接な関連がある。

ベール空間の全ての 部分集合が であるわけではないが、ある自然数集合 A についての 集合にはなる。 集合についても同様のことが言える。この関係は実効記述集合論において重要である。

同様の関係はカントール空間の部分集合間、さらに一般化して実効ポーランド空間の部分集合間にも言える。

他の階層との比較

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細字 太字
Σ0
0
= Π0
0
= Δ0
0
(しばしばΔ0
1
と同じ)
Σ0
0
= Π0
0
= Δ0
0
(定義されていれば)
Δ0
1
= 帰納的
Δ0
1
= 開かつ閉
Σ0
1
= 帰納的可算
Π0
1
= 補-帰納的可算
Σ0
1
= G =
Π0
1
= F =
Δ0
2
Δ0
2
Σ0
2
Π0
2
Σ0
2
= Fσ
Π0
2
= Gδ
Δ0
3
Δ0
3
Σ0
3
Π0
3
Σ0
3
= Gδσ
Π0
3
= Fσδ
Σ0
= Π0
= Δ0
= Σ1
0
= Π1
0
= Δ1
0
= 算術的
Σ0
= Π0
= Δ0
= Σ1
0
= Π1
0
= Δ1
0
= boldface arithmetical
Δ0
α
(αは再帰的)
Δ0
α
(αは可算)
Σ0
α
Π0
α
Σ0
α
Π0
α
Σ0
ωCK
1
= Π0
ωCK
1
= Δ0
ωCK
1
= Δ1
1
= 超算術的
Σ0
ω1
= Π0
ω1
= Δ0
ω1
= Δ1
1
= B = ボレル
Σ1
1
= lightface analytic
Π1
1
= lightface coanalytic
Σ1
1
= A = 解析集合
Π1
1
= CA = 補解析集合
Δ1
2
Δ1
2
Σ1
2
Π1
2
Σ1
2
= PCA
Π1
2
= CPCA
Δ1
3
Δ1
3
Σ1
3
Π1
3
Σ1
3
= PCPCA
Π1
3
= CPCPCA
Σ1
= Π1
= Δ1
= Σ2
0
= Π2
0
= Δ2
0
= 解析的階層に属する集合
Σ1
= Π1
= Δ1
= Σ2
0
= Π2
0
= Δ2
0
= P = 射影集合


参考文献

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  • Kechris, A. S. (1995), Classical Descriptive Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94374-9 
  • Rogers, Hartley (1987) [1967], The Theory of Recursive Functions and Effective Computability, First MIT press paperback edition, ISBN 978-0-262-68052-3