出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
変形勾配 （へんけいこうばい、英 : deformation gradient ）または変形勾配テンソル （英 : deformation gradient tensor ）とは、連続体力学 において、物体 の変形 を特徴付けるテンソル 量である。
基準配置における物質点X X X x x x dX が微小であれば、dx は線形近似 できて
d
x
=
x
(
X
+
d
X
)
−
x
(
X
)
=
∂
x
∂
X
d
X
=
F
d
X
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}}+\mathrm {d} {\boldsymbol {X}})-{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}})={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial {\boldsymbol {X}}}}\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}=F\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}
のように書ける。このときF [ 1]
基準配置X t F (t )τ F (τ )τ t F (τ , t )[ 1]
F
(
τ
,
t
)
=
F
(
t
)
F
−
1
(
τ
)
.
{\displaystyle F(\tau ,t)=F(t)F^{-1}(\tau ).}
変形勾配の行列式 det F は体積変化率 と呼ばれる。
変形勾配は極分解定理 （英語版 ） [ 2]
F
=
V
R
=
R
U
{\displaystyle F=VR=RU}
ここでR 直交テンソル である。V 左ストレッチテンソル （英 : left stretch tensor ）、U 右ストレッチテンソル （英 : right stretch tensor ）と呼ばれ、それぞれ正定値 対称テンソルである。この分解は、任意の変形は剛体回転R V , U
さらにここから以下のテンソルが定義される。ここでu x X 変位 ベクトルである。
左コーシー・グリーンテンソル、右コーシー・グリーンテンソル
B
=
V
2
=
F
F
T
,
C
=
U
2
=
F
T
F
{\displaystyle B=V^{2}=FF^{\mathrm {T} },\quad C=U^{2}=F^{\mathrm {T} }F}
アルマンシー（Almansi）のひずみテンソル
e
=
1
2
(
I
−
B
−
1
)
,
e
i
j
=
1
2
(
∂
u
i
∂
x
j
+
∂
u
j
∂
x
i
−
∂
u
k
∂
x
i
∂
u
k
∂
x
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {1}{2}}(I-B^{-1}),\\e_{ij}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)\end{aligned}}}
グリーンのひずみテンソル
E
=
1
2
(
C
−
I
)
,
E
i
j
=
1
2
(
∂
u
i
∂
X
j
+
∂
u
j
∂
X
i
+
∂
u
k
∂
X
i
∂
u
k
∂
X
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}(C-I),\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial X_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{j}}}\right)\end{aligned}}}
これらのテンソルを用いると、物体内の距離dX x の変化は次のように記述できる。
|
d
x
|
2
−
|
d
X
|
2
=
2
d
x
T
e
d
x
=
2
d
X
T
E
d
X
{\displaystyle |\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}|^{2}-|\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}|^{2}=2\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }e\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=2\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}^{\mathrm {T} }E\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}
微小変形においては、アルマンシーのひずみテンソルとグリーンのひずみテンソルは一致する。
変形が時間とともに進むとき、その速度は速度勾配テンソル L
d
x
˙
(
X
,
t
)
=
F
˙
d
X
=
L
d
x
,
L
≡
F
˙
F
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {d} {\dot {\boldsymbol {x}}}({\boldsymbol {X}},t)={\dot {F}}\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}=L\mathrm {d} {\boldsymbol {x}},\\&L\equiv {\dot {F}}F^{-1}\end{aligned}}}
速度勾配テンソルL 対称 部分は変形速度テンソル 、反対称 部分は回転速度テンソル と呼ばれる[ 1]
変形勾配は基準配置を参照するテンソルと現在配置を参照するテンソルの変換作用素となる役割を持つ。たとえば冒頭で述べた
d
x
=
F
d
X
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=F\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}
のように、基準配置を参照する座標dX を現在配置を参照する座標dx に変換する。このことを、dX はdx へプッシュフォワード される、あるいはdX はdx のプルバック であるという[ 3]
例としては、アルマンジひずみ e E
e
=
F
−
T
E
F
−
1
,
E
=
F
T
e
F
.
{\displaystyle e=F^{-T}EF^{-1},\quad E=F^{T}eF.}
また、キルヒホッフ応力テンソルτ 第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル S
τ
≡
(
det
F
)
σ
=
F
S
F
T
,
S
=
F
−
1
τ
F
−
T
.
{\displaystyle \tau \equiv (\det F)\sigma =FSF^{T},\quad S=F^{-1}\tau F^{-T}.}
