古典力学
F
=
d
d
t
(
m
v
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}
運動の第2法則
歴史 （英語版 ）
変位 （へんい、英語 : displacement ）とは、物体 の位置 の変化のこと[ 1]
変位の対象は、古典力学 での質点 の位置であったり、結晶 （固体 、あるいは結晶表面 やそれに吸着した原子、分子 など）での原子 の位置（原子変位）であったりする。
表記は、変位の大きさに着目する x, d のような場合や、変化した前後の位置の差であるという点に注目する Δr という場合がある。
物理量 としての変位はベクトルで使うことが多く、変位ベクトルと呼ばれる。
物体の位置を表現するには原点からの位置ベクトルを使う方法もある。どこかに基準点を定めるということでは変位もあまり違わないが、局所的な現象を表すときには基準位置とそこからの変位で記述したほうが簡単になることもある。
変位x r
x
=
r
−
r
0
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}
ここでr 0 は基準点の位置ベクトルである。
移動距離（distance）と変位（displacement）の違い。 ばね に繋いだ物体の運動では、物体の位置は、ばねの自然長 の位置を基準とした変位で表すのが便利である。
このとき物体の位置エネルギー は、次のような式で表せる。
U
=
1
2
k
x
2
{\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}
ここで x は、ばねの自然長の位置を基準とした変位、k はばね定数 である。
物体にかかる重力は基準位置（とエネルギーの基準点）を動かすだけだから、ばねがどんな方向を向いていても、また重力がかかっているときでもこの式は変更する必要がない。このようにばねの運動では変位を含む部分が本質的といえる。
Figure 1. Motion of a continuum body. 連続体力学 においては、変位とは物質点の位置の変化である。変位には、剛体 変位と変形 という二つの要素がある。剛体変位は、形状や大きさの変化を伴わない、物体の平行移動や回転である。連続体の変位後に物質点間に相対変位がある場合、変形が生じている。一方、物質点間に相対変位がない場合、変形は生じておらず、剛体変位が生じたと言える。
連続体の変位の記述において、変位前の状態を基準配置、変位後の状態を現在配置と呼ぶ。ここで配置とは、物体の全ての物質点の位置から構成される集合である。
変位の記述には二つの方法がある。一つは物質表示 やラグランジュ表示と呼ばれ、基準配置における位置ベクトル X 空間表示 やオイラー表示と呼ばれ、現在配置における位置ベクトル x 連続体力学#連続体の記述方法 も参照のこと。
基準配置と現在配置における物質点 P の位置を関連付けるベクトルを変位ベクトルと呼び、物質表示では
u
(
X
,
t
)
=
u
i
e
i
{\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}(\mathbf {X} ,t)=u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}
U
(
x
,
t
)
=
U
i
E
i
{\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}(\mathbf {x} ,t)=U_{i}{\boldsymbol {E}}_{i}}
変位場は物体の全ての物質点、全ての変位ベクトルのベクトル場 であり、基準配置と現在配置を関連付ける。一般に、変位場は物質表示によって以下のように記述される。
u
(
X
,
t
)
=
b
(
X
,
t
)
+
x
(
X
,
t
)
−
X
{\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {b}}({\boldsymbol {X}},t)+{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}\qquad }
u
i
=
α
i
J
b
J
+
x
i
−
α
i
J
X
J
{\displaystyle \qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}
また、空間表示では以下のようになる。
U
(
x
,
t
)
=
b
(
x
,
t
)
+
x
−
X
(
x
,
t
)
{\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}(\mathbf {x} ,t)={\boldsymbol {b}}({\boldsymbol {x}},t)+{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)\qquad }
U
J
=
b
J
+
α
J
i
x
i
−
X
J
{\displaystyle \qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}
ここで、
α
J
i
{\displaystyle \ \alpha _{Ji}}
e
i
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}
E
J
{\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{J}}
E
J
⋅
e
i
=
α
J
i
=
α
i
J
{\displaystyle \ {\boldsymbol {E}}_{J}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}
また、
u
i
{\displaystyle \ u_{i}}
U
J
{\displaystyle \ U_{J}}
u
i
=
α
i
J
U
J
{\displaystyle \ u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad }
U
J
=
α
J
i
u
i
{\displaystyle \qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}
また、以下の関係が成り立つ。
e
i
=
α
i
J
E
J
,
{\displaystyle \ {\boldsymbol {e}}_{i}=\alpha _{iJ}{\boldsymbol {E}}_{J},}
u
(
X
,
t
)
=
u
i
e
i
=
u
i
(
α
i
J
E
J
)
=
U
J
E
J
=
U
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)=u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}{\boldsymbol {E}}_{J})=U_{J}{\boldsymbol {E}}_{J}={\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)}
b
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {b}}=0}
クロネッカーのデルタ となる。
E
J
⋅
e
i
=
δ
J
i
=
δ
i
J
{\displaystyle \ {\boldsymbol {E}}_{J}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}
以上より、物質座標系において以下の式が得られる。
u
(
X
,
t
)
=
x
(
X
,
t
)
−
X
{\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)={\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}\qquad }
u
i
=
x
i
−
δ
i
J
X
J
=
x
i
−
X
i
{\displaystyle \qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}
また、空間座標系では以下のようになる。
U
(
x
,
t
)
=
x
−
X
(
x
,
t
)
{\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)\qquad }
U
J
=
δ
J
i
x
i
−
X
J
=
x
J
−
X
J
{\displaystyle \qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}
物質表示の変位ベクトル
u
(
X
,
t
)
=
x
(
X
,
t
)
−
X
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)={\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}}
を物質座標X テンソル は、物質変位勾配テンソル ∇X u 変位勾配テンソル [ 2]
∇
X
u
=
∇
X
x
−
I
=
F
−
I
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\boldsymbol {X}}{\boldsymbol {u}}&=\nabla _{\boldsymbol {X}}{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {I}}\\&={\boldsymbol {F}}-{\boldsymbol {I}}\end{aligned}}\qquad }
または、
∂
u
i
∂
X
K
=
∂
x
i
∂
X
K
−
δ
i
K
{\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}}
ここで、F は変形勾配 テンソル、I は恒等テンソルである。
同様に、空間表示の変位ベクトル
U
(
x
,
t
)
=
x
−
X
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)}
を空間座標で偏微分して得られるテンソルは、空間変位勾配テンソル ∇x U
∇
x
U
=
I
−
∇
x
X
=
I
−
F
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {U}}&={\boldsymbol {I}}-\nabla _{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {X}}\\&={\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {F}}^{-1}\end{aligned}}}
または、
∂
U
J
∂
x
k
=
δ
J
k
−
∂
X
J
∂
x
k
{\displaystyle {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}
変位勾配テンソルには性質の異なる2つの内容が含まれる。[ 3] [ 4]
∂
u
i
∂
x
j
=
ϵ
i
j
+
ω
i
j
,
ϵ
i
j
=
1
2
(
∂
u
i
∂
x
j
+
∂
u
j
∂
x
i
)
,
ω
i
j
=
1
2
(
∂
u
i
∂
x
j
−
∂
u
j
∂
x
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=\epsilon _{ij}+\omega _{ij},\\&\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right),\quad \omega _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\end{aligned}}}
変位勾配テンソルの対称成分εはひずみ と呼ばれ、形状の変化の程度をあらわす量である。一方、反対称成分ωは物体が形状を変化させずに単に回転することを表す。
Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity ISBN 0-8493-9779-0 . https://books.google.co.jp/books?id=Nn4kztfbR3AC&redir_esc=y&hl=ja Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Continuum Methods of Physical Modeling ISBN 3-540-20619-1 . https://books.google.ca/books?id=B-dxx724YD4C&hl=en Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory ISBN 0-8493-1138-1 . https://books.google.ca/books?id=1P0LybL4oAgC&hl=en Macosko, C. W. (1994). Rheology: principles, measurement and applications . VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5 Mase, George E. (1970). Continuum Mechanics ISBN 0-07-040663-4 . https://books.google.co.jp/books?id=bAdg6yxC0xUC&redir_esc=y&hl=ja Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Continuum Mechanics for Engineers ISBN 0-8493-1855-6 . https://books.google.co.jp/books?id=uI1ll0A8B_UC&redir_esc=y&hl=ja Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials ISBN 0-521-83979-3 . https://books.google.ca/books?id=5nO78Rt0BtMC&hl=en 
