ボーア半径

ボーア半径（ボーアはんけい、英: Bohr radius）は、ボーアの原子模型における、水素原子の第一軌道半径を表す物理定数である^[2]。原子、電子のようなミクロなスケールを扱う量子論、原子物理学、量子化学などの分野において用いられる原子単位系において、ボーア半径は一貫性のある長さの単位として用いられる。名称はデンマークの原子物理学者ニールス・ボーアに由来する。記号は一般に $a 0$ や $a B$ で表される。

ボーア半径をSI単位のメートルで表した値は

$a_{0}=5.291~772~105~44(82)\times 10^{-11}\ {\text{m}}$

である（2022 CODATA推奨値^[1]）。ボーア半径は原子単位系における長さの単位であり、長さの原子単位で表した値は

$a_{0}=1\ {\text{bohr}}=1\ {\text{a.u.}}$

である。

ボーア半径は、ボーアの原子模型で記述される水素原子において、基底状態にある電子の軌道半径で定義され

$a_{0}={\frac {4\pi }{Z_{0}c}}{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}$

で表される。ここで、 $ħ$ はプランク定数（ディラック定数）、 $c$ は真空中の光速度、 $Z 0$ は真空における特性インピーダンス、 $e$ は電気素量、 $m e$ は電子質量である。

国際量体系（ISQ）においては、電気定数 $ε 0$ により $Z 0 = 1/ ε 0 c$ で表されるので

$a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}$

となり、ガウス単位系は $Z 0 = 4π/ c$ とする量体系に基づいているので

$a_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}$

となる。

ボーア半径は長さの次元を持つ物理定数である電子のコンプトン波長 $λ e$ 、および古典電子半径 $r e$ とは

$a_{0}=\alpha ^{-1}{\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}=\alpha ^{-2}r_{\text{e}}$

で関係付けられる。ここで $α$ は微細構造定数である。また、リュードベリ定数 $R \infty$ と微細構造定数 $α$ により

$a_{0}={\frac {\alpha }{4\pi R_{\infty }}}$

で表される。リュードベリ定数と微細構造定数の値は精度よく測定されており、ボーア半径の値はこれら二つの定数の測定値から導かれる。

脚注

^ ^a ^b CODATA Value
^ 第２版,世界大百科事典内言及, 日本大百科全書(ニッポニカ),化学辞典第2版,ブリタニカ国際大百科事典小項目事典,精選版日本国語大辞典,デジタル大辞泉,世界大百科事典. “ボーア半径とは”. コトバンク. 2022年1月31日閲覧。