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示量性と示強性

出典は

バルクの熱力学

平衡状態にある一成分系のバルクの内部エネルギーは示量変数の関数として$U=U(S,V,N)$ と書ける．Uも含め示量変数なのでスケーリング則$U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)=\lambda U(S,V,N)$が成立する．示強変数は$T={\frac {\partial U}{\partial S}},etc.$のように決まる．$U=TS-PV+\mu N$が成り立つ．またバルクの示強変数を関係づけるギブスデュエムの式が成り立つ．

表面の熱力学

接触している2相のバルクを引き離すのに要する仕事は$2\gamma A$である．したがって表面を含む形の内部エネルギーは形成後の面積Aの表面が持つエネルギーγAだけ増加するため，内部エネルギーの式を拡張して$U=TS-PV+\mu N+\gamma A$と書ける．さらに系の弾性変形を考慮すると表面応力と表面ひずみを用いて$dU=TdS-PdV+\mu dN+\sum _{i,j}\sigma _{ij}Ad\epsilon _{ij}$と書き直せ，ギブスデュエムの式$SdT-VdP+Nd\mu +Ad\gamma +A\sum _{i,j}(\gamma \delta _{ij}-\sigma _{ij})d\epsilon _{ij}=0$がもとまる．ここで$dA=A\sum _{i}d\epsilon _{ii}$. 双1と挿2に対してはバルクのギブスデュエムの式が個別に成立するので引くと，ギブスの吸着式$S_{S}dT-V_{S}dP+N_{S}d\mu +Ad\gamma +A\sum _{i,j}(\gamma \delta _{ij}-\sigma _{ij})d\epsilon _{ij}=0$が得られる．ここで添え字Sは相1と挿2の間にある表面相を表すが，$V_{S}=N_{S}=0$を満たすギブスの分割面を導入しても一般性を失わない．バルクのギブスデュエムの式と連立させると，独立変数は$\gamma ,T,\epsilon$の3つである．

分割面上では表面を含む一成分系のギブスの吸着式は$S_{S}dT+Ad\gamma +A\sum _{i,j}(\gamma \delta _{ij}-\sigma _{ij})d\epsilon _{ij}=0$に帰着する．よって表面応力がShuttleworthの方程式$\sigma _{ij}=\gamma \delta _{ij}+\left({\frac {\partial \gamma }{\partial \epsilon _{ij}}}\right)_{T}$で求まる．液体の場合$\sigma =\gamma$となるが，固体では右辺第2項が0でなくσは正にも負にもなり得る．

数理モデル

数理モデル#自然界の階層性と数理モデル構築の可能性

そもそも、動物が外界に対する認識や解釈を行うということは、そこに何らかの秩序や法則が存在することを示している。 → 我々のように知的能力を持った生物がいるということがそもそも世界が（ある程度の）法則性を持つことの証拠 この世界が、満ち満ちている不可知なノイズの存在にもかかわらずある程度法則的に見える → われわれ人間のような、外界に対する認識や解釈を行う知的能力を持った生物がいるということがそもそも世界が（ある程度の）法則性を持つことの証拠

剛性方程式

剛性方程式とは、構造力学の問題に対して外力と変位の関係を表す方程式である。

$F=K\delta$

Fは荷重ベクトル、Kは剛性マトリクス、δは変位ベクトルである。荷重ベクトルと変位ベクトルの次元は各節点の自由度の和である。（fを自由度の和とし、以下の変数の次元を表記することとする）

有限要素法では剛性方程式は、計算格子ひとつずつの要素に対する方程式と、それらを集めて物体全体に対する方程式の2種類に分類される。以下では1つの要素（上付きのeで表す）に対して説明する。

$F^{e}=K^{e}\delta ^{e},\quad K^{e}:=\int B^{T}DBdV$

Dはフックの法則を表す。

$\sigma =D\epsilon ,\quad D:={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{pmatrix}1&\nu &\nu \\\nu &1&\nu &&0\\\nu &\nu &1\\&&&{\frac {1-\nu }{2}}&0&0\\&0&&0&{\frac {1-\nu }{2}}&0\\&&&0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{pmatrix}}$

BはBマトリクスと呼ばれ、ひずみと変位の関係を表す。

$\epsilon =B\delta ^{e},\quad B:=\partial N$

ここでNは要素の変位δ^eを集めて全体の変位δにする行列

$\delta =N\delta ^{e}$

∂はひずみと変位の関係を表し

${\begin{aligned}\epsilon &=\partial \delta ,\\{\begin{pmatrix}\epsilon _{x}\\\epsilon _{y}\\\epsilon _{z}\\\gamma _{xy}\\\gamma _{yz}\\\gamma _{zx}\end{pmatrix}}&=\partial {\begin{pmatrix}\delta _{x}\\\delta _{y}\\\delta _{z}\end{pmatrix}},\quad \partial :={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&0&0\\0&{\frac {\partial }{\partial y}}&0\\0&0&{\frac {\partial }{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&0\\0&{\frac {\partial }{\partial z}}&{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}&0&{\frac {\partial }{\partial x}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

である。

剛性方程式は、任意の仮想変位δ^eに対して

$F^{e}\delta ^{e}=\int \sigma \epsilon dV$

が成り立つことから導かれる。

暗騒音

暗騒音 L_background の環境で測定された騒音レベルが L_measure のとき、音源の真の騒音レベル L_true は

$L_{t}=L_{m}-10\log \left[1+{\frac {1}{10^{\frac {L_{m}-L_{b}}{10}}-1}}\right]$

ねじり

微小変形の仮定渋谷寿一; 本間寛臣; 斎藤憲司『現代材料力学』朝倉書店、1986年、106頁。ISBN 4-254-23051-6。 

1. 軸に直角な平行線郡は変形後もその間隔は変化せず互いに平行で軸に直角である。
2. 軸に平行な直線群は変形後もその間隔は変化せず、互いに平行であるが軸に対して傾斜する。
3. 上記1.2.から、変形前の長方形はせん断変形を受け、平行四辺形になる。

クーロンの仮定中村恒善 編『建築構造力学 図説･演習Ⅰ』（2版）丸善、1994年、126頁。ISBN 4-621-03965-2。 

1. 材料の軸に直交する断面は、変形後も平面を保つ。
2. 断面の中心を通る直線は変形後も直線を保ち、断面形状は変化しない。

この仮定は円柱や円管のねじりにおいてのみ成立する。

ねじれ角φ、軸からの距離r、せん断ひずみγ

$\gamma =r{\frac {d\phi }{dx}}$

せん断応力τ

$\tau =G\gamma$

軸周りの合モーメントM

$M=\int r\tau dA=GI{\frac {d\phi }{dx}},\quad \therefore {\frac {d\phi }{dx}}={\frac {M}{GI}}$

ただし、Iは断面2次極モーメントで

$I:=\int r^{2}dA$

関連項目

ねじれ角、ねじりモーメントまたはトルク、ねじり剛性、極断面係数、サンブナンねじれ、ワグナーねじれ

エネルギー原理

エネルギー原理

• 仮想仕事の原理
• 最小ポテンシャルエネルギーの原理
• カスチリアノの定理
• ベッティの相反定理
• 微小変形理論におけるキルヒホッフの解の唯一性の定理

ベルトラミ・ミッチェルの適合条件

ひずみの適合条件式にフックの法則を代入して、応力で表したものをベルトラミ・ミッチェルの適合条件式（Beltrami-Michell's compatibility equations）と言う。

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\sigma _{xx}+{\frac {1}{1+\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial x^{2}}}&=-{\frac {\nu }{1-\nu }}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)-2{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}},\\\nabla ^{2}\sigma _{yy}+{\frac {1}{1+\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial y^{2}}}&=-{\frac {\nu }{1-\nu }}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)-2{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}},\\\nabla ^{2}\sigma _{zz}+{\frac {1}{1+\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial z^{2}}}&=-{\frac {\nu }{1-\nu }}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)-2{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}$

またはまとめて

$\nabla ^{2}\sigma _{ij}+{\frac {1}{1+\nu }}\Theta _{,ij}=-{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{ij}F_{k,k}-(F_{i,j}+F_{j,i},\quad (i,j=1,2,3))$

とも表される。ただし

$\Theta =\sigma _{kk}=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}$

である。

圧力

熱力学的圧力 (thermodynamic pressure)

一様な垂直応力σが境界に作用している流体の球を考える。もし流体が静止している（平衡状態？）なら、p_e = -σ が流体の状態方程式に用いられる熱力学的に平衡な圧力であり、p_e は平衡圧力 (equilibrium pressure)、または熱力学的圧力と呼ばれる。

動力学的圧力 (kinetic pressure)

流体がその体積を変える場合には、平均圧力p は、体積の発散 div V （V = (u, v, w)は速度ベクトル）に比例する分だけp_e からずれる：

$p=p_{e}-\mu '\operatorname {div} V=p_{e}-\mu '\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right).$

このp は動力学的圧力とも呼ばれる。μ' は体積粘性係数。

体積粘性係数μ' は粘性係数μと第2粘性係数λを用いて

$\mu '=\lambda +{\frac {2}{3}}\mu$

と表されるが、ストークスの仮説によりμ' = 0 と仮定する場合が多い。

以上の出典は（どこからかは不明になった）。

面積力，体積力

力 (物理学)に加筆したが、面積力の由来はほとんど電磁力で体積力なのに，なぜそれが面積力に変わるのか，と言う説明を希望．双極子とか多重極ができるせいだっけ．．．？

カセットロン、カセットボット

大きさはマイクロカセットの規格に合わせられている。

マススケーリング

マススケーリング（英: mass scaling）とは、CAEを用いた構造計算において時間ステップ幅を大きく取れるようにするテクニックである。

動的陽解法における時間ステップ幅Δt の設定にはクーラン条件：

$1>c{\frac {\Delta t}{\Delta x}}={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}{\frac {\Delta t}{\Delta x}}$

• c ：音速
• E ：弾性係数
• ρ：密度
• Δx ：計算格子の幅

があるため、無闇に大きく取ることができず

$\Delta t<\Delta t_{\mathrm {max} }:={\sqrt {\frac {\rho }{E}}}\Delta x$

を満たすようある程度小さくしなければならないが、小さすぎると計算量の増加につながるというトレードオフの関係がある。これを解消するために、物体の密度ρを大きくして音速c を落とすことで時間ステップ幅を大きく取れるようにするものである。

準静的過程において有効である。

Category:数値解析