利用者:Glayhours/sandbox/アーチーの法則

岩石物理学におけるアーチーの法則（アーチーのほうそく、英: Archie's law）は、多孔質岩石の電気抵抗率と多孔質岩石の空隙率の間に成り立つ次の経験則である：

$$R_{o}=a\phi ^{-m}R_{w}.$$

ここで R_o は空隙が液体で満たされた多孔質岩石の電気抵抗率、R_w は液体の電気抵抗率、φ は岩石の空隙率を表す。また、m は岩石の膠結指数 (cementation exponent)、n は飽和指数 (saturation exponent)、a は屈曲度 (tortuosity factor) である。

空隙に液体を含む岩石の電気抵抗率 R_t と空隙の含水率 S_w に関して以下の関係が成り立つことが経験的に知られている：

$$R_{t}=S_{w}^{-n}R_{o}.$$

この関係からアーチーの式を以下のように変形できる：

$$R_{t}=a\phi ^{-m}S_{w}^{-n}R_{w}.$$

また、アーチーの関係は電気抵抗率 R と電気伝導率 C の関係 R = 1/C から、電気伝導率を使っても表すことができる。

$$C_{o}={\frac {1}{a}}\phi ^{m}C_{w}.$$

アーチーの法則が成り立つ範囲において、空隙内の液体および液体岩石の電気抵抗率の間には比例関係が成り立つ：

$$R_{o}=FR_{w}.$$

比例係数 F は地層係数 (formation resistivity factor; FRF) と呼ばれる。地層係数について以下の関係が成り立つ：

$${\begin{aligned}F&={\frac {R_{o}}{R_{w}}},\\F&=a\phi ^{-m}.\end{aligned}}$$

上記の関係より、地層係数と空隙率の両対数プロットから膠結指数を推定することができる。

膠結指数 m は砂岩に対して 1.8–2.0 の値を取り、飽和指数 n は粘土鉱物を含まない砂または砂岩に対して 2 に近い値を取ることが知られている。

アーチーの法則は、粘土鉱物や頁岩を含まない砂岩について、粒間の空隙率を変化させていった場合のイオン（ほとんどはナトリウムと塩化物）の流れを記述する純粋な経験則である。アーチーの法則では、電気伝導を水溶液中のイオンのみが担うことを仮定している。そのため、固体の岩石粒子や水以外の構成流体（石油、炭化水素、ガス）の電気伝導は無視されている。

アーチーの法則という名称は、電気抵抗率と空隙率の関係を述べた Gustavus E. Archie に因む。アーチーの法則は、ボアホールの電気抵抗率の測定と炭化水素の飽和率を関連付け、現代的な物理検層の解釈の基礎をなす。

膠結指数

膠結指数は、岩石自体を絶縁体と見なし孔隙のネットワークが電気抵抗をいかに増加させるかをモデル化する。 孔隙ネットワークを互いに平行な毛細管としてモデル化したなら、断面における岩石の電気抵抗の平均は膠結指数を 1 とした場合に等しい空隙率依存性を示すだろう。 If the pore network were to be modelled as a set of parallel capillary tubes, a cross-section area average of the rock's resistivity would yield porosity dependence equivalent to a cementation exponent of 1. However, the tortuosity of the rock increases this to a higher number than 1. This relates the cementation exponent to the permeability of the rock, increasing permeability decreases the cementation exponent.

The exponent $m$ has been observed near 1.3 for unconsolidated sands, and is believed to increase with cementation. Common values for this cementation exponent for consolidated sandstones are 1.8 < $m$ < 2.0. In carbonate rocks, the cementation exponent shows higher variance due to strong diagenetic affinity and complex pore structures. Values between 1.7 and 4.1 have been observed.

The cementation exponent is usually assumed not to be dependent on temperature.

飽和指数

The saturation exponent $n$ usually is fixed to values close to 2. The saturation exponent models the dependency on the presence of non-conductive fluid (hydrocarbons) in the pore-space, and is related to the wettability of the rock. Water-wet rocks will, for low water saturation values, maintain a continuous film along the pore walls making the rock conductive. Oil-wet rocks will have discontinuous droplets of water within the pore space, making the rock less conductive.

屈曲度

The constant $a$, called the tortuosity factor, cementation intercept, lithology factor or, lithology coefficient is sometimes used. It is meant to correct for variation in compaction, pore structure and grain size. The parameter $a$ is called the tortuosity factor and is related to the path length of the current flow. The value lies in the range 0.5 to 1.5, and it may be different in different reservoirs. However a typical value to start with for a sandstone reservoir might be 0.6, which then can be tuned during log data matching process with other sources of data such as core.

指数の測定

In petrophysics, the only reliable source for the numerical value of both exponents is experiments on sand plugs from cored wells. The fluid electrical conductivity can be measured directly on produced fluid (groundwater) samples. Alternatively, the fluid electrical conductivity and the cementation exponent can also be inferred from downhole electrical conductivity measurements across fluid-saturated intervals. For fluid-saturated intervals ($S_{w}=1$) Archie's law can be written

$\log {C_{t}}=\log {C_{w}}+m\log {\phi }\,\!$

Hence, plotting the logarithm of the measured in-situ electrical conductivity against the logarithm of the measured in-situ porosity (Pickett plot), according to Archie's law a straight-line relationship is expected with slope equal to the cementation exponent $m$ and intercept equal to the logarithm of the in-situ fluid electrical conductivity.

粘土または頁岩を含む砂

アーチーの法則は石基が非導電性であることを仮定している。しかしこの仮定は粘土鉱物を含む砂岩については、粘土の構造や陽イオン交換容量のために、一般には成り立たない。 Waxman–Smitsの式は、石基の導電性を考慮したモデルの一つである。

関連項目

• バーチの法則
• バイアリーの法則

参考文献

• Archie, G.E. (1942-12-01). “The electrical resistivity log as an aid in determining some reservoir characteristics”. Petroleum Transactions of AIME 146: 54–62. doi:10.2118/942054-g. 
• Archie, G.E. (1947-02-01). “Electrical resistivity an aid in core-analysis interpretation”. American Association of Petroleum Geologists Bulletin 31 (2): 350–366. doi:10.1306/3D93395C-16B1-11D7-8645000102C1865D. 
• Archie, G.E. (1950-05-01). “Introduction to petrophysics of reservoir rocks”. American Association of Petroleum Geologists Bulletin 34 (5): 943–961. doi:10.1306/3d933f62-16b1-11d7-8645000102c1865d. 
• Archie, G.E. (1952-02-01). “Classification of carbonate reservoir rocks and petrophysical considerations”. American Association of Petroleum Geologists Bulletin 36 (2): 278–298. doi:10.1306/3d9343f7-16b1-11d7-8645000102c1865d. 
• Winsauer, W.O.; Shearing, H.M., Jr.; Masson, P.H.; Williams, M. (1952-02-01). “Resistivity of brine saturated sands in relation to pore geometry”. AAPG Bulletin 36 (2): 253–277. doi:10.1306/3d9343f4-16b1-11d7-8645000102c1865d. 
• Glover, Paul W. J. (2016-07-29). “Archie's law – a reappraisal”. Solid Earth 7 (4): 1157–1169. doi:10.5194/se-7-1157-2016. 
• Rider, Malcolm H. (1999). The Geological Interpretation of Well Logs (Second ed.). Whittles Publishing Services. pp. 288. ISBN 0-9541906-0-2 
• Ellis, Darwin V. (1987). Well Logging for Earth Scientists. Elsevier. ISBN 0-444-01180-3 
• Ellis, Darwin V.; Singer, Julian M. (2008). Well Logging for Earth Scientists (Second ed.). Springer. pp. 692. ISBN 978-1-4020-3738-2