1

特定の底での表示アルゴリズム

数 $x$ の $N$ 進表示を得るアルゴリズムを以下に示す。

整数の表示アルゴリズム

整数 $x$ の $N$ 進表示：

x=s{d_{n-1}\dots d_{0}}_{(N)}

は以下の総和を意味する：

{\begin{aligned}x&=s\sum _{k=0}^{n-1}d_{k}N^{k}\,,\\&=s\left(d_{0}+d_{1}N+\dotsb +d_{n-1}N^{n-1}\right)\,.\end{aligned}}

ここで $s$ は $x$ の符号を表し、ゼロまたは正の数に対して $+$ 、負の数に対して $-$ をとる。 $d k$ は $k + 1$ 桁目の位の値であり、 $N$ は位取り記数法の底である。

位の値 $d k$ は、 $x$ の絶対値 $| x |$ を $N$ で次々と割った余りとして得られる：

{\begin{aligned}\left|x\right|=q_{0}&=q_{1}N+d_{0}\,,\\q_{1}&=q_{2}N+d_{1}\,,\\q_{2}&=q_{3}N+d_{2}\,,\\&\;\;\vdots \\q_{n-2}&=q_{n-1}N+d_{n-2}\,,\\q_{n-1}&=d_{n-1}\,.\end{aligned}}

ここで $q k$ は $x$ を $N$ で $k$ 回割った商であり、 $q k N \leq q k -1 < (q k + 1) N$ を満たす。より具体的には例えば、以下のように行う^{[注 1]}：

$q\gets |x|$ : 一時変数 $q$ に $x$ の絶対値を代入する
$k\gets 0$ : ループ回数の初期化
$q\neq 0$ $q\neq 0$ である限り以下を行う：
1. $d_{k}\gets q{\bmod {N}}$ : $N$ で割った余りより $k + 1$ 桁目を求める
2. $q\gets {\tfrac {q-d_{k}}{N}}$ : $N$ で割った商を求め、 $q$ の値を更新する
3. $k\gets k+1$ : ループ回数 $k$ を更新する

上記の方法で得られた数列 $d k$ から $x$ の $N$ 進表示の値を印字するには、 $0$ から $N - 1$ までの数に対応した数字 ${\mathfrak {c}}_{0},\dotsc ,{\mathfrak {c}}_{N-1}$ を用い、各位を $d_{k}\mapsto {\mathfrak {c}}_{d_{k}}$ と置き換えればよい。

桁数 $n$ は絶対値 $| x |$ の $N$ を底とする対数に概ね比例する：

n={\begin{cases}1+\lfloor \log _{N}|x|\rfloor &(|x|\geq 1)\\1&(x=0)\end{cases}}

$\left\lfloor \cdot \right\rfloor$ は床関数であり、ここでは対数の整数部を得るために使う^{[注 2]}。

小数の表示アルゴリズム

$x$ が有理数の場合、 $N$ 進表示は小数部を持ち得る。整数部に関しては整数の $N$ 進表示アルゴリズムをそのまま用いることができる。小数部に関しても整数の場合と同様の流れで $N$ 進表示を得られる：

$x'\gets x\mathop {\mathrm {mod} } 1$ : 一時変数 $x'$ に $x$ の値の小数部を代入する
$x' = 0$ なら処理を終了する
$k\gets 0$ : ループ回数の初期化
$x'>0$ $x'>0$ かつ $k<\lambda$ $k<\lambda$ である限り以下を行う（λ は適当なしきい値）：
1. $x'\gets Nx'$ : $N$ 倍して桁を1つずらす
2. $d_{k}\gets \lfloor x'\rfloor$ : 整数部を取り出し小数第 $k + 1$ 桁目を求める
3. $x'\gets x'-d_{k}$ : 最上位の桁を 0 にする
4. $k\gets k+1$ : ループ回数 $k$ を更新する

$x$ を表す既約分数の分母が底 $N$ の素因数の積で表せるなら $x$ は有限小数として表せるが、そうでない場合は循環小数となる。

2

2の補数

3

ブースの乗算アルゴリズム

アルゴリズム

以下では被乗数 $X$ と乗数 $Y$ の乗算を扱い、その部分積の和を $P$ で表す。乗数 $Y$ の二進表示を $y N -1 y N -2 \dots y 1 y 0 (y i \in {0, 1})$ と表す。 $N$ は $Y$ のビット数である。

原論文の方法

ブースの原論文におけるアルゴリズムは以下の通り^[1]：

$i = 0$ から $i = N - 1$ まで順に以下を行う：
y_iy_i−1 ∈ {00, 01, 10, 11} の値を判定する：
- $y i y i -1 = 00$ の場合：何もしない
- $y i y i -1 = 11$ の場合：何もしない
- $y i y i -1 = 01$ の場合： $P$ に $X$ を加える
- $y i y i -1 = 10$ の場合： $P$ から $X$ を引く
$i \neq N - 1$ なら $P$ を 1 ビット右にシフトする

4

Euler's continued fraction formula oldid=1165374705

オイラーの連分数公式（オイラーのれんぶんすうこうしき、（英: Euler's.continued fraction）は様々な無限級数と無限連分数とを結びつける、複素解析における公式の一つ。オイラーの連分数公式は、レオンハルト・オイラーの1748年の著書『無限解析序説』^[2]の中で初めて示された。

オイラーの連分数公式は、無限連分数の収束（英語版）を調べるための有力な手法として利用される。

有限連分数の公式

オイラーは、有限和と有限の連分数を結びつける次の公式を導いた：

a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {\ddots }{\ddots {\cfrac {a_{n-1}}{1+a_{n-1}-{\cfrac {a_{n}}{1+a_{n}}}}}}}}}}}}}\,,

あるいはより簡潔な一般化連分数の記法を用いて、

a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\,{\cfrac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\cdots {\frac {-a_{n}}{1+a_{n}}}\,.

この等式は $n$ に関する数学的帰納法により容易に導ける。もし左辺の和の極限が収束級数になるなら、右辺は収束する無限連分数を与える。

無限連分数の公式

$r i$ を複素数とし、 $x$ を以下の無限級数として定義する：

x=1+\sum _{i=1}^{\infty }r_{1}r_{2}\cdots r_{i}=1+\sum _{i=1}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{i}r_{j}\right)\,.

すると、帰納法により以下の連分数表示が得られる：

x={\cfrac {1}{1-{\cfrac {r_{1}}{1+r_{1}-{\cfrac {r_{2}}{1+r_{2}-{\cfrac {r_{3}}{1+r_{3}-\ddots }}}}}}}}\,.

上記の等式は、無限連分数の $n$ 番目の近似分数が無限級数の $n$ 番目の部分和に等しいこととして理解される。従って、級数が収束ないし一様収束するなら、 $r i$ Here equality is to be understood as equivalence, in the sense that the $n$ 'th convergent of each continued fraction is equal to the $n$ 'th partial sum of the series shown above. So if the series shown is convergent – or uniformly convergent, when the r_i's are functions of some complex variable z – then the continued fractions also converge, or converge uniformly.^[3]

Proof by induction

Theorem: Let $n$ be a natural number. For $n+1$ complex values $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ ,

\sum _{k=0}^{n}\prod _{j=0}^{k}a_{j}={\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\cdots {\frac {-a_{n}}{1+a_{n}}}

and for $n$ complex values $b_{1},\ldots ,b_{n}$ , ${\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+}}\,{\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n}}{1+b_{n}}}\neq -1.$

Proof: We perform a double induction. For $n=1$ , we have

{\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}}}={\frac {a_{0}}{1+{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}}}}}={\frac {a_{0}(1+a_{1})}{1}}=a_{0}+a_{0}a_{1}=\sum _{k=0}^{1}\prod _{j=0}^{k}a_{j}

and

{\frac {-b_{1}}{1+b_{1}}}\neq -1.

Now suppose both statements are true for some $n\geq 1$ .

We have ${\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+}}\,{\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}={\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+x}}$ where $x={\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}\neq -1$

by applying the induction hypothesis to $b_{2},\ldots ,b_{n+1}$ .

But if ${\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+x}}=-1$ implies $b_{1}=1+b_{1}+x$ implies $x=-1$ , contradiction. Hence

{\frac {-b_{1}}{1+b_{1}+}}\,{\frac {-b_{2}}{1+b_{2}+}}\cdots {\frac {-b_{n+1}}{1+b_{n+1}}}\neq -1,

completing that induction.

Note that for $x\neq -1$ ,

{\frac {1}{1+}}\,{\frac {-a}{1+a+x}}={\frac {1}{1-{\frac {a}{1+a+x}}}}={\frac {1+a+x}{1+x}}=1+{\frac {a}{1+x}};

if $x=-1-a$ , then both sides are zero.

Using $a=a_{1}$ and $x={\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}\neq -1$ , and applying the induction hypothesis to the values $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n+1}$ ,

{\begin{aligned}a_{0}+&a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n+1}\\&=a_{0}+a_{0}(a_{1}+a_{1}a_{2}+\cdots +a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n+1})\\&=a_{0}+a_{0}{\big (}{\frac {a_{1}}{1+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}{\big )}\\&=a_{0}{\big (}1+{\frac {a_{1}}{1+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}{\big )}\\&=a_{0}{\big (}{\frac {1}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}}{\big )}\\&={\frac {a_{0}}{1+}}\,{\frac {-a_{1}}{1+a_{1}+}}\,{\frac {-a_{2}}{1+a_{2}+}}\,\cdots {\frac {-a_{n+1}}{1+a_{n+1}}},\end{aligned}}

completing the other induction.

As an example, the expression $a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}$ can be rearranged into a continued fraction.

{\begin{aligned}a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}&=a_{0}(a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1)\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{\cfrac {1}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}-{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)+1}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{{\cfrac {a_{1}(a_{2}(a_{3}+1)+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}+{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)+1}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}-{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{2}(a_{3}+1)+1}}}}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)+1}{a_{3}+1}}}}}}}\\[8pt]&={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{{\cfrac {a_{2}(a_{3}+1)}{a_{3}+1}}+{\cfrac {a_{3}+1}{a_{3}+1}}-{\cfrac {a_{3}}{a_{3}+1}}}}}}}}={\cfrac {a_{0}}{1-{\cfrac {a_{1}}{1+a_{1}-{\cfrac {a_{2}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{3}}{1+a_{3}}}}}}}}}\end{aligned}}

This can be applied to a sequence of any length, and will therefore also apply in the infinite case.

Examples

The exponential function

The exponential function e^x is an entire function with a power series expansion that converges uniformly on every bounded domain in the complex plane.

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {x}{i}}\right)\,

The application of Euler's continued fraction formula is straightforward:

e^{x}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x}{1+x-{\cfrac {{\frac {1}{2}}x}{1+{\frac {1}{2}}x-{\cfrac {{\frac {1}{3}}x}{1+{\frac {1}{3}}x-{\cfrac {{\frac {1}{4}}x}{1+{\frac {1}{4}}x-\ddots }}}}}}}}}}.\,

Applying an equivalence transformation that consists of clearing the fractions this example is simplified to

e^{x}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x}{1+x-{\cfrac {x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}}\,

and we can be certain that this continued fraction converges uniformly on every bounded domain in the complex plane because it is equivalent to the power series for e^x.

The natural logarithm

The Taylor series for the principal branch of the natural logarithm in the neighborhood of 1 is well known:

\log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}z^{n}}{n}}.\,

This series converges when |x| < 1 and can also be expressed as a sum of products:^[4]

\log(1+x)=x+(x)\left({\frac {-x}{2}}\right)+(x)\left({\frac {-x}{2}}\right)\left({\frac {-2x}{3}}\right)+(x)\left({\frac {-x}{2}}\right)\left({\frac {-2x}{3}}\right)\left({\frac {-3x}{4}}\right)+\cdots

Applying Euler's continued fraction formula to this expression shows that

\log(1+x)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {-x}{2}}{1+{\frac {-x}{2}}-{\cfrac {\frac {-2x}{3}}{1+{\frac {-2x}{3}}-{\cfrac {\frac {-3x}{4}}{1+{\frac {-3x}{4}}-\ddots }}}}}}}}

and using an equivalence transformation to clear all the fractions results in

\log(1+x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2-x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}

This continued fraction converges when |x| < 1 because it is equivalent to the series from which it was derived.^[4]

The trigonometric functions

The Taylor series of the sine function converges over the entire complex plane and can be expressed as the sum of products.

{\begin{aligned}\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots \\[8pt]&=x+(x)\left({\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}\right)+(x)\left({\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}\right)+(x)\left({\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{6\cdot 7}}\right)+\cdots \end{aligned}}

Euler's continued fraction formula can then be applied

{\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}{1+{\frac {-x^{2}}{2\cdot 3}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}{1+{\frac {-x^{2}}{4\cdot 5}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{6\cdot 7}}{1+{\frac {-x^{2}}{6\cdot 7}}-\ddots }}}}}}}}

An equivalence transformation is used to clear the denominators:

\sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.

The same argument can be applied to the cosine function:

{\begin{aligned}\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \\[8pt]&=1+{\frac {-x^{2}}{2}}+\left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}\right)+\left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}\right)\left({\frac {-x^{2}}{5\cdot 6}}\right)+\cdots \\[8pt]&={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{2}}{1+{\frac {-x^{2}}{2}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}{1+{\frac {-x^{2}}{3\cdot 4}}-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{5\cdot 6}}{1+{\frac {-x^{2}}{5\cdot 6}}-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

\therefore \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{2-x^{2}+{\cfrac {2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.

The inverse trigonometric functions

The inverse trigonometric functions can be represented as continued fractions.

{\begin{aligned}\sin ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&=x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\[8pt]&=x+x\left({\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}\right)+x\left({\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}\right)+x\left({\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}\right)\left({\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}\right)\left({\frac {(5x)^{2}}{6\cdot 7}}\right)+\cdots \\[8pt]&={\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}{1+{\frac {x^{2}}{2\cdot 3}}-{\cfrac {\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}{1+{\frac {(3x)^{2}}{4\cdot 5}}-{\cfrac {\frac {(5x)^{2}}{6\cdot 7}}{1+{\frac {(5x)^{2}}{6\cdot 7}}-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}

An equivalence transformation yields

\sin ^{-1}x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3(3x)^{2}}{4\cdot 5+(3x)^{2}-{\cfrac {4\cdot 5(5x^{2})}{6\cdot 7+(5x^{2})-\ddots }}}}}}}}.

The continued fraction for the inverse tangent is straightforward:

{\begin{aligned}\tan ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\[8pt]&=x+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}\right)+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}\right)\left({\frac {-3x^{2}}{5}}\right)+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}\right)\left({\frac {-3x^{2}}{5}}\right)\left({\frac {-5x^{2}}{7}}\right)+\cdots \\[8pt]&={\cfrac {x}{1-{\cfrac {\frac {-x^{2}}{3}}{1+{\frac {-x^{2}}{3}}-{\cfrac {\frac {-3x^{2}}{5}}{1+{\frac {-3x^{2}}{5}}-{\cfrac {\frac {-5x^{2}}{7}}{1+{\frac {-5x^{2}}{7}}-\ddots }}}}}}}}\\[8pt]&={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{3-x^{2}+{\cfrac {(3x)^{2}}{5-3x^{2}+{\cfrac {(5x)^{2}}{7-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}

A continued fraction for π

We can use the previous example involving the inverse tangent to construct a continued fraction representation of π. We note that

\tan ^{-1}(1)={\frac {\pi }{4}},

And setting x = 1 in the previous result, we obtain immediately

\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}.\,

The hyperbolic functions

Recalling the relationship between the hyperbolic functions and the trigonometric functions,

\sin ix=i\sinh x

\cos ix=\cosh x,

And that $i^{2}=-1,$ the following continued fractions are easily derived from the ones above:

\sinh x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}

\cosh x={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{2+x^{2}-{\cfrac {2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}.

The inverse hyperbolic functions

The inverse hyperbolic functions are related to the inverse trigonometric functions similar to how the hyperbolic functions are related to the trigonometric functions,

\sin ^{-1}ix=i\sinh ^{-1}x

\tan ^{-1}ix=i\tanh ^{-1}x,

And these continued fractions are easily derived:

\sinh ^{-1}x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3(3x)^{2}}{4\cdot 5-(3x)^{2}+{\cfrac {4\cdot 5(5x^{2})}{6\cdot 7-(5x^{2})+\ddots }}}}}}}}

\tanh ^{-1}x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3+x^{2}-{\cfrac {(3x)^{2}}{5+3x^{2}-{\cfrac {(5x)^{2}}{7+5x^{2}-\ddots }}}}}}}}.

X

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 以下の説明において、左矢印（←）は左辺の変数へ右辺の値を割り当てる操作（代入）を意味する。
^ 対数の性質より、 $log N N m = m$ であるため、 $N m \leq y < N m +1$ を満たす正の整数 $y$ について、その対数 $log N y$ の整数部は $m$ となる。従って対数に床関数を適用することで、正整数 $y$ の $N$ 進法での桁数 $m + 1$ が得られる。

出典

^ Booth 1950.
^ Euler, Leonhard (1748). “ⅩⅧ. De Fractionibus Continuis” (ラテン語). Introductio in analysin infinitorum. I
^ H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8, p. 17.
^ ^a ^b This series converges for |x| < 1, by Abel's test (applied to the series for log(1 − x)).

参考文献

日本規格協会、情報処理学会編『JIS X 0005:2002 情報処理用語（データの表現）』日本規格協会、2002年8月31日。
ISO; IEC, eds (2015-05). ISO/IEC 2382:2015 Information technology — Vocabulary. ISO/IEC
IBM, ed (1964-01-01). IBM System/360 Principles of Operation. IBM. doi:10.5555/1102026
水谷, 正大. "数の補数表現 ― コンピュータは数値をどのように保持しているのか？" (PDF). www.edu.tuis.ac.jp/~mackin. 2023年5月11日閲覧。
西村, 進. "基礎情報処理 ― 論理（スイッチング）回路と計算" (PDF). www.math.kyoto-u.ac.jp/~susumu. 2023年5月11日閲覧。
中野, 伸 (1 April 2022). "代数入門" (PDF). pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin. 2023年5月11日閲覧。
Seacord, Robert. "CERT C Coding Standard: INT32-C. Ensure that operations on signed integers do not result in overflow". wiki.sei.cmu.edu. 2023年5月13日閲覧。
"CERT C コーディングスタンダード: INT32-C. 符号付き整数演算がオーバーフローを引き起こさないことを保証する". www.jpcert.or.jp/sc-rules/. JPCERT/CC. 16 June 2020. 2023年5月14日閲覧。
"Chapter 4. Types, Values, and Variables ― Java Language Specification". docs.oracle.com/javase/specs/jls/. Oracle. 3 March 2023. 2023年5月13日閲覧。
"Class Math ― Java SE 20 & JDK 20". docs.oracle.com/en/java/javase/20/docs/api/. Oracle. 2023年5月13日閲覧。

[1] 以下の説明において、左矢印（←）は左辺の変数へ右辺の値を割り当てる操作（代入）を意味する。

[2] 対数の性質より、 $log N N m = m$ であるため、 $N m \leq y < N m +1$ を満たす正の整数 $y$ について、その対数 $log N y$ の整数部は $m$ となる。従って対数に床関数を適用することで、正整数 $y$ の $N$ 進法での桁数 $m + 1$ が得られる。

[FOOTNOTEBooth1950-3] Booth 1950.

[4] Euler, Leonhard (1748). “ⅩⅧ. De Fractionibus Continuis” (ラテン語). Introductio in analysin infinitorum. I

[5] H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8, p. 17.

[Abel-6] This series converges for |x| < 1, by Abel's test (applied to the series for log(1 − x)).

[注 1]

[注 2]

[1]

[2]

[3]

[4]

利用者:Glayhours/sandbox

1