利用者:Flightbridge/sandbox/QR分解

定義

正方行列

任意の実正方行列 A に対し、次の分解を考える。

$A=QR$

ここで Q は直交行列（Q^TQ = I を満たす）、R は上三角行列である。もし A が可逆ならば、R の対角成分を正とする条件のもとこの分解は一意に定まる。

また A を複素正方行列とするならば、Q をユニタリ行列（Q^*Q = I を満たす）とする分解 A = QR が存在する。

A が n 個の線型独立な列ベクトルを持つとき、Q の最初の n 列は A の列空間における正規直交基底を与える。より一般に任意の k (1 ≤ k ≤ n) に対し、Q の最初の k 列は A の最初の k 列が張る部分空間における正規直交基底を与える。このように A の任意の k 列目が Q の最初の k 列にのみ依って決まるのは、R が三角行列であるためである。

矩形行列

より一般に、複素 m × n 行列 A （ただし m ≥ n）は、m × m ユニタリ行列 Q と m × n 上三角行列 R の積へと分解できる。ここで m × n 上三角行列の下から (m − n) はすべて零であるから、R または R, Q を次のように分割することができる。

$A=QR=Q{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}=\left[Q_{1},Q_{2}\right]{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}=Q_{1}R_{1}$

ここで、R₁ は n × n 上三角行列、0 は (m − n)× n 零行列、Q₁, Q₂ はそれぞれ m × n, m × (m − n) であり、Q₁, Q₂ はそれぞれ直交する列を持つ。

QL, RQ, LQ 分解

同様にして QL, RQ, LQ 分解を定義することができる。ただしこの L は下三角行列（英: lower triangular matrix）である。