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微分方程式

${\begin{cases}{\frac {d{\mbox{N}}_{0,t}}{dt}}\,=\,-\,\lambda _{0}{\mbox{N}}_{0,t}\\{\frac {d{\mbox{N}}_{1,t}}{dt}}\,=\,\,\,\lambda _{0}{\mbox{N}}_{0,t}\,-\,\lambda _{1}{\mbox{N}}_{1,t}\\{\frac {d{\mbox{N}}_{2,t}}{dt}}\,=\,\,\,\lambda _{1}{\mbox{N}}_{1,t}\,-\,\lambda _{2}{\mbox{N}}_{2,t}\\{\frac {d{\mbox{N}}_{3,t}}{dt}}\,=\,\,\,\lambda _{2}{\mbox{N}}_{2,t}\,-\,\lambda _{3}{\mbox{N}}_{3,t}\end{cases}}$

ただし、$\lambda _{0}\ll \lambda _{3}\ll \lambda _{1}<\lambda _{2}$ 初期条件は${\mbox{N}}_{0,0}=1\,,\;{\mbox{N}}_{1,0}=0\,,\;{\mbox{N}}_{2,0}=0\,,\;{\mbox{N}}_{3,0}=0$

$t$ が十分に大きくなれば、$\lambda _{0}{\mbox{N}}_{0,t}\approx \lambda _{1}{\mbox{N}}_{1,t}\approx \lambda _{2}{\mbox{N}}_{2,t}\approx \lambda _{3}{\mbox{N}}_{3,t}$

という事は知っているが、それぞれの収束具合、特に、${\mbox{N}}_{3,t}$ の立ちあがりの挙動が知りたくて、これを解きたい。--鷹揚虚空 2007年11月27日 (火) 22:35 (UTC)

${\mbox{N}}_{0,t}$ については、${\mbox{N}}_{0,t}\,=\,e^{-\lambda _{0}t}$

${\mbox{N}}_{1,t}$ については、${\mbox{N}}_{1,t}\,=\,{\frac {\lambda _{0}}{\lambda _{1}-\lambda _{0}}}e^{-\lambda _{0}t}-{\frac {\lambda _{0}}{\lambda _{1}-\lambda _{0}}}e^{-\lambda _{1}t}$か？

${\mbox{N}}_{2,t}$ については…

${\mbox{N}}_{3,t}$ については…