マクスウェルの方程式について書いてるつもり
ガウスの法則の積分形
の右辺を体積電荷密度ρを用いて表すと、
となる。この式の左辺に発散定理を適用すると、
となる。右辺を左辺に移項すると、
となることから、積分を取り外すことができ、
となる。適当に整理することで、ガウスの法則の微分形
が得られる。
磁場に関するガウスの法則の積分形
であるが、左辺にそのまま発散定理を適用して
となり、そのまま積分を外すと、微分形
が得られる。
ファラデーの法則は、発生する起電力をV、磁束をΦとし、巻き数は考えないものとして、次のように表される。
左辺を電界の閉ループΓにおける線積分、右辺を磁束密度の面積分で書き換えると
左辺にストークスの定理を適用して、
右辺を移項すると
積分を取り外して
適当に整理することで、ファラデーの法則の微分形
が得られる。
アンペールの法則は次のように表される。
右辺を電流密度jを用いて表すと
静磁場でない場合、上のアンペールの法則の式は正確でない。右辺に変位電流の項を追加してアンペールの法則を拡張すると
左辺にストークスの定理を適用して
右辺を左辺に移項
積分を外して
適当に整理すると、アンペールの法則の微分形
が得られる。
電荷が存在せず(ρ=0)、DおよびjをEで、BをHで表した場合のマクスウェルの方程式
ベクトル解析における公式の一つ
を用いて電場、磁場に関する波動方程式を出す。
第3式の両辺に回転をかけると
回転とtによる偏微分は順序交換可能で
一方、回転の公式より、
この式を整理すると
この式の右の項に上記の式を代入することができて
この式の∇・Eと∇×Hにそれぞれ第1式と第4式を代入することができて
かっこを外して整理すると
というような波動方程式が得られる。なお、導電性のない媒質(σ=0)においては
となる。
第4式について同様に回転をかけると
微分順序を変更して
回転の公式より
∇・Hに第2式を、∇×(∇×H)に上記の式をそれぞれ代入して
∇×Eに第3式を代入して
かっこを外して整理すると
というような波動方程式が得られる。導電性のない媒質においては
となる。