利用者:ふぃろそふぃ/sandbox/マクスウェルの方程式

マクスウェルの方程式について書いてるつもり

マクスウェルの方程式

${\begin{cases}\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {r}},t)&=\rho ({\boldsymbol {r}},t)\\\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)&=0\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)&=-{\dfrac {\partial {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}},t)&={\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)+{\dfrac {\partial {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}\end{cases}}$

電場に関するガウスの法則

ガウスの法則の積分形

$\int _{S}{\boldsymbol {D}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=Q$

の右辺を体積電荷密度ρを用いて表すと、

$\int _{S}{\boldsymbol {D}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=\int _{V}\rho \,dV$

となる。この式の左辺に発散定理を適用すると、

$\int _{V}\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}\,dV=\int _{V}\rho \,dV$

となる。右辺を左辺に移項すると、

$\int _{V}(\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}-\rho )\,dV=0$

となることから、積分を取り外すことができ、

$\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}-\rho =0$

となる。適当に整理することで、ガウスの法則の微分形

$\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho$

が得られる。

磁場に関するガウスの法則

磁場に関するガウスの法則の積分形

$\int _{S}{\boldsymbol {B}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=0$

であるが、左辺にそのまま発散定理を適用して

$\int _{V}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}\,dV=0$

となり、そのまま積分を外すと、微分形

$\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}=0$

が得られる。

ファラデーの法則

ファラデーの法則は、発生する起電力をV、磁束をΦとし、巻き数は考えないものとして、次のように表される。

$V=-{\frac {d\Phi }{dt}}$

左辺を電界の閉ループΓにおける線積分、右辺を磁束密度の面積分で書き換えると

$\oint _{\Gamma }{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {l}}=-\int _{S}{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}\cdot d{\boldsymbol {S}}$

左辺にストークスの定理を適用して、

$\int _{S}\nabla \times {\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=-\int _{S}{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}\cdot d{\boldsymbol {S}}$

右辺を移項すると

$\int _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}})\cdot d{\boldsymbol {S}}=0$

積分を取り外して

$\nabla \times {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}=0$

適当に整理することで、ファラデーの法則の微分形

$\nabla \times {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}$

が得られる。

アンペール・マクスウェルの法則

アンペールの法則は次のように表される。

$\oint _{\Gamma }{\boldsymbol {H}}\cdot d{\boldsymbol {l}}=I$

右辺を電流密度jを用いて表すと

$\oint _{\Gamma }{\boldsymbol {H}}\cdot d{\boldsymbol {l}}=\int _{S}{\boldsymbol {j}}\cdot d{\boldsymbol {S}}$

静磁場でない場合、上のアンペールの法則の式は正確でない。右辺に変位電流の項を追加してアンペールの法則を拡張すると

$\oint _{\Gamma }{\boldsymbol {H}}\cdot d{\boldsymbol {l}}=\int _{S}({\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}})\cdot d{\boldsymbol {S}}$

左辺にストークスの定理を適用して

$\int _{S}\nabla \times {\boldsymbol {H}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=\int _{S}({\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}})\cdot d{\boldsymbol {S}}$

右辺を左辺に移項

$\int _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {H}}-{\boldsymbol {j}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}})\cdot d{\boldsymbol {S}}=0$

積分を外して

$\nabla \times {\boldsymbol {H}}-{\boldsymbol {j}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}=0$

適当に整理すると、アンペールの法則の微分形

$\nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}$

が得られる。

波動方程式

電荷が存在せず(ρ=0)、DおよびjをEで、BをHで表した場合のマクスウェルの方程式

${\begin{cases}\nabla \cdot {\boldsymbol {E}}&=0\\\nabla \cdot {\boldsymbol {H}}&=0\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}&=-\mu {\dfrac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial t}}\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}&=\sigma {\boldsymbol {E}}+\varepsilon {\dfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\end{cases}}$

ベクトル解析における公式の一つ

$\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\mathrm {A} }})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathrm {A} }})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\mathrm {A} }}$

を用いて電場、磁場に関する波動方程式を出す。

電場

第3式の両辺に回転をかけると

$\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {E}})=-\mu \nabla \times {\frac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial t}}$

回転とtによる偏微分は順序交換可能で

$\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {E}})=-\mu {\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {H}})$

一方、回転の公式より、

$\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {E}})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}$

この式を整理すると

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {E}})-\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {E}})$

この式の右の項に上記の式を代入することができて

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {E}})+\mu {\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {H}})$

この式の∇・Eと∇×Hにそれぞれ第1式と第4式を代入することができて

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}=\mu {\frac {\partial }{\partial t}}(\sigma {\boldsymbol {E}}+\varepsilon {\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}})$

かっこを外して整理すると

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}=\mu \sigma {\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}+\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {E}}}{\partial t^{2}}}$

というような波動方程式が得られる。なお、導電性のない媒質(σ=0)においては

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {E}}=\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {E}}}{\partial t^{2}}}$

となる。

磁場

第4式について同様に回転をかけると

$\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {H}})=\sigma \nabla \times {\boldsymbol {E}}+\varepsilon \nabla \times {\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}$

微分順序を変更して

$\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {H}})=\sigma \nabla \times {\boldsymbol {E}}+\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {E}})$

回転の公式より

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {H}}=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {H}})-\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {H}})$

∇・Hに第2式を、∇×(∇×H)に上記の式をそれぞれ代入して

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {H}}=-\sigma \nabla \times {\boldsymbol {E}}-\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {E}})$

∇×Eに第3式を代入して

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {H}}=-\sigma (-\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial t}})-\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}(-\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial t}})$

かっこを外して整理すると

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {H}}=\mu \sigma {\frac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial t}}+\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {H}}}{\partial t^{2}}}$

というような波動方程式が得られる。導電性のない媒質においては

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {H}}=\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {H}}}{\partial t^{2}}}$

となる。