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利用者:ふぃろそふぃ/sandbox/フーリエ級数

フーリエ級数などについて

フーリエ級数

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周期T、角周波数ω=2π/Tの関数f(t)のフーリエ級数は次のように表される。

ただし、

三角関数の積分

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m≠nのとき

m=nのとき

a
n
の導出

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フーリエ級数の両辺を積分すると

cos、sinともに1周期で積分すると0なので

整理すると

また、フーリエ級数の両辺にcos(mωt)をかけて積分すると

cosの1周期積分は0かつ、cosとsinの積の1周期積分も常に0となるので

この式の右辺の積分は、n≠mのときは値が0となるが、n=mになったときに限り値がT/2となるので

整理すると

mをnに置き換えてやれば

また、先にa
0
の導出をしているが、これは

となっているとみなせるので、n=0のときもまとめて

と書ける。

b
n
の導出

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フーリエ級数の両辺にsin(mωt)をかけて積分すると

sinの1周期積分は0かつ、sinとcosの積の1周期積分も常に0となるので

この式の右辺の積分は、n≠mのときは値が0となるが、n=mになったときに限り値がT/2となるので

整理すると

mをnに置き換えてやれば

となる。

複素フーリエ級数

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上記と同様の場合、虚数単位をjで表すとして複素フーリエ級数は次のようになる。

ただし、

複素指数関数の積分

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m≠nのとき

m=nのとき

c
n
の導出

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複素フーリエ級数の両辺にexp(-jmωt)をかけて積分すると

右辺の積分は、n≠mのときは値が0となるが、n=mになったときに限り値がTとなるので

整理すると

mをnに置き換えてやれば

となる。