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数学 において、ある多項式列
{
p
n
(
z
)
}
{\displaystyle \{p_{n}(z)\}}
一般化アペル表現 （いっぱんかアペルひょうげん、英 : generalized Appell representation ）が存在するとは、その多項式 の母関数 が次の形式を取ることを言う：
K
(
z
,
w
)
=
A
(
w
)
Ψ
(
z
g
(
w
)
)
=
∑
n
=
0
∞
p
n
(
z
)
w
n
.
{\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}.}
ただし母関数あるいは核 と呼ばれる
K
(
z
,
w
)
{\displaystyle K(z,w)}
A
(
w
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
w
n
{\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad }
a
0
≠
0
{\displaystyle a_{0}\neq 0}
および
Ψ
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
Ψ
n
t
n
{\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad }
Ψ
n
≠
0
{\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}
および
g
(
w
)
=
∑
n
=
1
∞
g
n
w
n
{\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad }
g
1
≠
0.
{\displaystyle g_{1}\neq 0.}
上述のように、
p
n
(
z
)
{\displaystyle p_{n}(z)}
次数
n
{\displaystyle n}
より一般的なクラスの多項式として、ボアズ＝バック多項式 が挙げられる。
g
(
w
)
=
w
{\displaystyle g(w)=w}
ブレンケ多項式 のクラスに属する多項式が得られる。
Ψ
(
t
)
=
e
t
{\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}
ニュートン多項式 のような一般差分多項式 を含む多項式のシェファー列 が得られる。それらを合わせて
g
(
w
)
=
w
{\displaystyle g(w)=w}
Ψ
(
t
)
=
e
t
{\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}
アペル列 （英語版 ） 一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。
p
n
(
z
)
=
∑
k
=
0
n
z
k
Ψ
k
h
k
.
{\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}
この定数は
h
k
=
∑
P
a
j
0
g
j
1
g
j
2
⋯
g
j
k
{\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}
で与えられる。ただしこの和は
n
{\displaystyle n}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
分割 するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての
{
j
}
{\displaystyle \{j\}}
j
0
+
j
1
+
⋯
+
j
k
=
n
.
{\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}
アペル多項式に対し、これは次の公式となる。
p
n
(
z
)
=
∑
k
=
0
n
a
n
−
k
z
k
k
!
.
{\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.}
核
K
(
z
,
w
)
{\displaystyle K(z,w)}
g
1
=
1
{\displaystyle g_{1}=1}
A
(
w
)
Ψ
(
z
g
(
w
)
)
{\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}
∂
K
(
z
,
w
)
∂
w
=
c
(
w
)
K
(
z
,
w
)
+
z
b
(
w
)
w
∂
K
(
z
,
w
)
∂
z
{\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}
が成り立つことである。ただし
b
(
w
)
{\displaystyle b(w)}
c
(
w
)
{\displaystyle c(w)}
b
(
w
)
=
w
g
(
w
)
d
d
w
g
(
w
)
=
1
+
∑
n
=
1
∞
b
n
w
n
{\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}
および
c
(
w
)
=
1
A
(
w
)
d
d
w
A
(
w
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
w
n
{\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}}
が存在する。今
K
(
z
,
w
)
=
∑
n
=
0
∞
p
n
(
z
)
w
n
{\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}
を代入することで、次の漸化式 が直ちに得られる。
z
n
+
1
d
d
z
[
p
n
(
z
)
z
n
]
=
−
∑
k
=
0
n
−
1
c
n
−
k
−
1
p
k
(
z
)
−
z
∑
k
=
1
n
−
1
b
n
−
k
d
d
z
p
k
(
z
)
.
{\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}
ブレンケ多項式の特別な場合として、
g
(
w
)
=
w
{\displaystyle g(w)=w}
b
n
=
0
{\displaystyle b_{n}=0}
Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems , (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104. 
![{\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fa5220f132f927db5f328de38bccc5d8f8fa76)
