ヴァンデルモンドの行列式

線型代数学において、ヴァンデルモンドの行列式（ヴァンデルモンドのぎょうれつしき、英: Vandermonde's determinant）とは、ある特殊な形をした正方行列の行列式である。名称は18世紀のフランスの数学者であるアレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンド（フランス語版、英語版）に因む。ヴァンデルモンドは「ファンデルモンド」と表記されることもある。ファン (前置詞) も参照。

定義

各行が初項1の等比数列である正方行列

V:={\begin{bmatrix}1&x_{1}&{x_{1}}^{2}&\cdots &{x_{1}}^{n-1}\\1&x_{2}&{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{2}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&{x_{n}}^{2}&\cdots &{x_{n}}^{n-1}\end{bmatrix}}

をヴァンデルモンド行列（英: Vandermonde matrix）といい、その行列式をヴァンデルモンドの行列式という。テキストによっては、上記の転置行列

{\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\{x_{1}}^{2}&{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{n}}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{x_{1}}^{n-1}&{x_{2}}^{n-1}&\cdots &{x_{n}}^{n-1}\end{bmatrix}}

で定義している場合もあるが、行列式は転置をとっても変わらないので、行列式としては全く同じものである。

公式

ヴァンデルモンドの行列式は、各行の公比の差積に等しい。具体的には、上記の行列 $V$ に対して

\det V=\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})=(-1)^{n(n-1)/2}\prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})

が成り立つ。 $n = 2, 3$ の場合を書き下せば、

{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}=x_{2}-x_{1},

{\begin{vmatrix}1&x_{1}&{x_{1}}^{2}\\1&x_{2}&{x_{2}}^{2}\\1&x_{3}&{x_{3}}^{2}\end{vmatrix}}=(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})(x_{2}-x_{1})

である。公式より直ちに分かることとして、 $x 1, \dots, x n$ が全て異なるとき、かつそのときに限り、ヴァンデルモンドの行列式は $0$ ではない。

公式の証明

この公式は、 $n$ に関する数学的帰納法で示すこともできるし、行列式の性質を用いたうまい証明の仕方もある。実際、行列式の交代性（行を入れ替えると行列式は $-1$ 倍になる）と因数定理によって、 $det V$ は $x j - x i$ たちを因数に持つことが分かるので、あとは次数と係数を比較すれば、公式が成り立つことが容易に分かる。

以下に、別の証明法の1例として、ある正方行列のある列(行)の各成分に同じ係数を乗じ、別のある列(行)にベクトル的に加算するという操作(行列の基本変形の1つ)を行っても、行列式の値は変わらないという性質と、やはり因数定理および、各項の次数と係数を比較する方法を示す。

正方行列 $V$ は次の形であるとする。

V={\begin{bmatrix}1&{x_{1}}&{x_{1}}^{2}&\cdots &{x_{1}}^{n-1}\\1&{x_{2}}&{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{2}}^{n-1}\\1&{x_{3}}&{x_{3}}^{2}&\cdots &{x_{3}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&{x_{n}}&{x_{n}}^{2}&\cdots &{x_{n}}^{n-1}\end{bmatrix}}

$V$ の行列式は定義により次のようになる。

\det V=\textstyle \sum \limits _{\sigma \in S_{n}}sign(\sigma )\prod \limits _{1\leq i\leq n}x_{i}^{\sigma (i)-1}

ここで、 $S n$ は n次対称群(n次置換群)を表し、 $S n$ の元 $σ$ に対して $sign(σ)$ は $σ$ がn次交代群(遇置換群)に属していれば 1、そうでなければ -1とする。

この定義式から $\det V$ は $x_{1},x_{2},\cdots x_{n}$ の多項式で表わされ、そのどの項においても $x_{1},x_{2},\cdots x_{n}$ の次数の合計は、 $n(n-1)/2$ であることが分かる。

行列 $V$ の第1列に $x_{1}$ を乗じて第2列から引き、第1列に ${x_{1}}^{2}$ を乗じて第3列から引き、以下この操作を第1列に ${x_{1}}^{n-1}$ を乗じて第n列から引くまで繰り返すと、 $V$ は次の形に変形される。

V_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\1&{x_{2}}-{x_{1}}&{x_{2}}^{2}-{x_{1}}^{2}&\cdots &{x_{2}}^{n-1}-{x_{1}}^{n-1}\\1&{x_{3}}-{x_{1}}&{x_{3}}^{2}-{x_{1}}^{2}&\cdots &{x_{3}}^{n-1}-{x_{1}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&{x_{n}}-{x_{1}}&{x_{n}}^{2}-{x_{1}}^{2}&\cdots &{x_{n}}^{n-1}-{x_{1}}^{n-1}\end{bmatrix}}

この操作によって $\det V$ の値は不変である。つまり $\det V=\det V_{1}$ である。

{x_{j}}^{k-1}-{x_{i}}^{k-1}=(x_{j}-x_{i})({x_{j}}^{k-2}+{x_{j}}^{k-3}x_{i}+\cdots +{x_{j}}{x_{i}}^{k-3}+{x_{i}}^{k-2})

であるから、 $V_{1}$ の第2行の第1列以外の各列の要素は $x_{2}-x_{1}$ を因数に持ち、第k行の第1列以外の各列の要素は $x_{k}-x_{1}$ を因数に持つことが分かる。従って、 $\det V=\det V_{1}$ は $(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{1})$ を因数に持つことが分かる。

次に、行列 $V$ の第1列に $x_{2}$ を乗じて第2列から引き、第1列に ${x_{2}}^{2}$ を乗じて第3列から引き、以下この操作を第1列に ${x_{2}}^{n-1}$ を乗じて第n列から引くまで繰り返すと、 $V$ は次の形に変形される。

V_{2}={\begin{bmatrix}1&x_{1}-x_{2}&{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{1}}^{n-1}-{x_{2}}^{n-1}\\1&0&0&\cdots &0\\1&x_{3}-x_{2}&{x_{3}}^{2}-{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{3}}^{n-1}-{x_{2}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{2}&{x_{n}}^{2}-{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{n}}^{n-1}-{x_{2}}^{n-1}\end{bmatrix}}

この操作によって $\det V$ の値は不変であり、上と同様の論法で、 $\det V=\det V_{2}$ は $(x_{1}-x_{2})(x_{3}-x_{2})\cdots (x_{n}-x_{2})$ を因数に持つことが分かる。

同様の操作を、行列 $V$ の第1列に $x_{n}$ を乗じて第2列から引き、第1列に ${x_{n}}^{2}$ を乗じて第3列から引き、以下この操作を第1列に ${x_{n}}^{n-1}$ を乗じて第n列から引くまで繰り返せば、 $\det V$ は $(x_{1}-x_{n})(x_{2}-x_{n})\cdots (x_{n-1}-x_{n})$ を因数に持つことが言え、最終的に $\det V$ は $\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$ を因数に持つことが分かる。

$\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$ は $(x_{j}-x_{i})$ 型の因数を $n(n-1)/2$ 個掛け合わせているので、 $x_{1},x_{2},\cdots x_{n}$ の多項式に展開できるが、各項の $x_{1},x_{2},\cdots x_{n}$ の次数の合計は、 $n(n-1)/2$ である。従って、 $\det V$ は $\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$ の定数倍になるはずである。

$\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$ の各因数の左側の変数( $(x_{j}-x_{i})$ であれば $x_{j}$ )を掛け合わせた項は ${x_{n}}^{n-1}{x_{n-1}}^{n-2}\cdots {x_{3}}^{2}{x_{2}}^{1}$ である。一方 $V$ の対角要素を掛け合わせると、 ${x_{2}}^{1}{x_{3}}^{2}\cdots {x_{n-1}}^{n-2}{x_{n}}^{n-1}$ であり一致する。従って、 $\det V$ と $\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})$ は一致する。