3の平方根

3の平方根（さんのへいほうこん）は、平方して $3$ になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

{\sqrt {3}}

と書き、「ルート3」と読む。その小数表示は

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253…

である（オンライン整数列大辞典の数列 A002194）。無理数であることが知られているので、この数字の並びは循環しない。

幾何学的には、一辺の長さが $2$ の正三角形の高さに等しく、一辺の長さが $1$ の正六角形の対辺の距離に等しい。また、一辺の長さが $1$ の立方体の対角線の長さに等しい。三角関数を用いると、 $\tan 60^{\circ }$ とも表される。

小数部分の覚え方として、語呂合わせが知られており、代表的なものに「人並みに奢れや（ひとなみにおごれや）」がある。

性質

${\sqrt {3}}$ は代数的整数である。 ${\sqrt {3}}$ の有理数体 $\mathbb {Q}$ 上の既約多項式は $x 2 - 3$ である。
連分数表示は

{\sqrt {3}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}

表話編歴代数的数
代数的整数チェビシェフ分点（英語版）作図可能数コンウェイの定数（英語版） ( $λ$ ) アイゼンシュタイン整数ガウス整数黄金数 ( $φ$ ) クンマー環ペロン数（英語版）ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数（英語版）二次の無理数（英語版）有理数 ( $\mathbb {Q}$ ) 1の冪根サレム数白銀比 ( $δ S$ ) プラスチック数 ( $ρ$ ) $\sqrt 2$ $\sqrt 3$ $\sqrt 5$ $\sqrt 6$ $\sqrt 7$ $\sqrt 10$ $3 \sqrt 2$ $12 \sqrt 2$		$ℚ$
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