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マッケイ三次曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

ユークリッド幾何学において、マッケイ三次曲線(まっけいさんじきょくせん、:McCay cubic, M'Cay cubic[1] ,Griffiths cubic[2])とは、三角形に関する三次曲線の一つである[3]グリフィス三次曲線とも呼ばれる。 Bernard Gibertの「Catalogue of Triangle Cubics」ではK003として登録されている[2]

定義

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  基準三角形ABC
  ABC九点円
  Pの垂足円(垂足三角形の外接円
  マッケイ三次曲線:垂足円と九点円が接するときのP の軌跡

マッケイ三次曲線はいくつかの軌跡として定義される[2]

などがある。

方程式

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マッケイ三次曲線は重心座標 を用いて下の式で表される。

三線座標では以下のように表される。

三次曲線上の点

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マッケイ三次曲線は以下の点を通る[2][6]

  • 内心と傍心
  • 外心
  • 垂心
  • 垂心の外心チェバ共役点X1075
  • X1075の等角共役点X3362
  • ジェルゴンヌ三角形の垂心X65の、垂心チェバ共役点X225のミモザ変換(Mimoza transform,内心の、点Xと垂心の三線座標の積で表される点でのチェバ共役点)X1745
  • X1745の等角共役点X13855

漸近線

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マッケイ三次曲線の3つの漸近線

Stelloid(不正規双曲線[7])とは3つの漸近線の成す角が60°である三次曲線を指す。マッケイ三次曲線はStelloidで、漸近線の交点は重心である[2]。マッケイ三次曲線の漸近線と漸近線が平行でまた、有限個の点で交わり、circum-stelloid(3つの頂点を通るStelloid)である三次曲線は、McCay stelloidと呼ばれる。漸近線の交点はStelloidのradial centerと呼ばれる[8]。 有限個のradial centerが与えられたとき、McCay Stelloidはただ一つに決まる。

関連

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出典

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  1. ^ Weisstein, Eric W. “M'Cay Cubic”. MathWorld-A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc.. 5 December 2021閲覧。
  2. ^ a b c d e Bernard Gibert. “K003 McCay Cubic = Griffiths Cubic”. Cubics in the Triangle Plane. Bernard Gilbert. 5 December 2021閲覧。
  3. ^ Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson. http://archive.org/details/cu31924001522782 
  4. ^ John Griffiths. Mathematical Questions and Solutions from the Educational Times 2 (1902) 109, and 3 (1903) 29 
  5. ^ Roger C. Alperin. “Pedals of the Poncelet Pencil and Fontene Points”. Forum Geometricorum. 2024年2月21日閲覧。
  6. ^ ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2”. faculty.evansville.edu. 2024年3月28日閲覧。
  7. ^ 『国際十進分類法』全日本科学技術団体聯合会、1948年、513.618.5頁。doi:10.11501/1122661 
  8. ^ Bernard Gibert. “McCay Stelloids”. Catalogue of Triangle Cubics. Bernard Gilbert. 25 December 2021閲覧。