マクスウェルの応力テンソル

マクスウェルの応力テンソル（マクスウェルのおうりょくテンソル、英: Maxwell stress tensor）とは、電磁場の応力テンソルである。 マクスウェル応力は電磁場の運動量の流れの密度を表す。

マクスウェル応力 T は

$\mathrm {T} \equiv \left({\boldsymbol {D}}\otimes {\boldsymbol {E}}-\mathrm {I} \int {\boldsymbol {D}}\cdot d{\boldsymbol {E}}\right)+\left({\boldsymbol {B}}\otimes {\boldsymbol {H}}-\mathrm {I} \int {\boldsymbol {B}}\cdot d{\boldsymbol {H}}\right)$

で定義される。 真空中においては

$\mathrm {T} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {E}}\otimes {\boldsymbol {E}}-\mathrm {I} \,{\frac {{\boldsymbol {E}}^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {B}}\otimes {\boldsymbol {B}}-\mathrm {I} \,{\frac {{\boldsymbol {B}}^{2}}{2}}\right)$

となる。

概要

マクスウェル応力の電場に関する部分の発散は

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathrm {T} _{\text{e}}&=\partial _{i}(D_{i}{\boldsymbol {E}})-D_{i}\nabla E_{i}\\&=(\partial _{i}D_{i}){\boldsymbol {E}}+D_{i}\partial _{i}{\boldsymbol {E}}-D_{i}\nabla E_{i}\\&=(\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}){\boldsymbol {E}}+({\boldsymbol {D}}\cdot \nabla _{E}){\boldsymbol {E}}-\nabla _{E}({\boldsymbol {D}}\cdot {\boldsymbol {E}})\\&=(\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}){\boldsymbol {E}}-{\boldsymbol {D}}\times (\nabla \times {\boldsymbol {E}})\\\end{aligned}}$

となる。 ここでベクトル三重積の公式

${\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\boldsymbol {b}}({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}){\boldsymbol {c}}$

を用いている。また、ナブラの添え字 E は E に作用する（D に作用しない）ことを明示している。 磁場の部分も考えて、マクスウェルの方程式を用いれば

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathrm {T} &=(\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}){\boldsymbol {E}}-{\boldsymbol {D}}\times (\nabla \times {\boldsymbol {E}})+(\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}){\boldsymbol {H}}-{\boldsymbol {B}}\times (\nabla \times {\boldsymbol {H}})\\&=\rho {\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {D}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {B}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {B}}\times {\boldsymbol {j}}\\&={\frac {\partial ({\boldsymbol {D}}\times {\boldsymbol {B}})}{\partial t}}+\rho {\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {j}}\times {\boldsymbol {B}}\\\end{aligned}}$

となる。 これを体積 V で積分すると、発散定理を用いて

$\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {S}}\cdot \mathrm {T} ={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}({\boldsymbol {D}}\times {\boldsymbol {B}})dV+\int _{V}(\rho {\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {j}}\times {\boldsymbol {B}})dV$

となる。 左辺は表面から流入する運動量を意味する。右辺第二項は分布電荷に作用するローレンツ力であり、体積内の分布電荷の運動量の時間変化を意味する。 従って、右辺第一項は電磁場の運動量の時間変化と解釈され、

${\boldsymbol {g}}={\boldsymbol {D}}\times {\boldsymbol {B}}$

は電磁場の運動量密度を表す。

固有値・固有ベクトル

真空中でのマクスウェルの応力テンソルTの固有値λは次式となる。

$\{\lambda \}=\left\{-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}+B^{2}/\mu _{0}}{2}},~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}E^{2}-B^{2}/\mu _{0}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}$

また、電場E(または磁場B)のみの場合、固有値λと固有ベクトルvは次式となる。

$\{\lambda \}=\left\{-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}}{2}},~-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}}{2}},~+{\frac {\epsilon _{0}E^{2}}{2}}\right\}$

$\{{\boldsymbol {v}}\}=\left\{{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {E}}_{y},~-{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {E}}_{z},~{\boldsymbol {E}}E_{x}\right\}$

関連項目

• エネルギー・運動量テンソル
• ポインティング・ベクトル