数学のフロケ理論 （フロケりろん、英 : Floquet theory ）とは、次の形の線型微分方程式 の解のクラスに関する常微分方程式 理論の一分野である。
x
˙
=
A
(
t
)
x
,
{\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,\,}
ここで
A
(
t
)
{\displaystyle \displaystyle A(t)}
区分的連続 な周期
T
{\displaystyle T}
フロケ理論における主定理であるフロケの定理 （Floquet's theorem）は、Gaston Floquet (1883 )線型系 の各基本解行列 に対する標準形 （英語版 ）
Q
(
t
+
2
T
)
=
Q
(
t
)
{\displaystyle \displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}
座標変換
y
=
Q
−
1
(
t
)
x
{\displaystyle \displaystyle y=Q^{-1}(t)x}
係数 の線型系へと変換する。
固体物理学 において、（3次元へと一般化された）同様の結果はブロッホの定理 として知られている。
線型微分方程式の解はベクトル空間を構成することに注意されたい。ある行列
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi \,(t)}
Φ
(
t
)
{\displaystyle \Phi (t)}
Φ
(
t
0
)
{\displaystyle \Phi (t_{0})}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
Φ
(
t
)
=
ϕ
(
t
)
ϕ
−
1
(
t
0
)
{\displaystyle \Phi (t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(t_{0})}
x
(
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(0)=x_{0}}
x
(
t
)
=
ϕ
(
t
)
ϕ
−
1
(
0
)
x
0
{\displaystyle x(t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(0)x_{0}}
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi \,(t)}
x
˙
=
A
(
t
)
x
{\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
n
{\displaystyle n}
A
(
t
)
{\displaystyle A(t)}
T
{\displaystyle T}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
t
{\displaystyle t}
A
(
t
+
T
)
=
A
(
t
)
{\displaystyle A(t+T)=A(t)}
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi \,(t)}
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
ϕ
(
t
+
T
)
=
ϕ
(
t
)
ϕ
−
1
(
0
)
ϕ
(
T
)
{\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\phi ^{-1}(0)\phi (T)\ }
が成立する。ここで
ϕ
−
1
(
0
)
ϕ
(
T
)
{\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (T)\ }
はモノドロミー行列 として知られるものである。さらに（複素数値でもあり得る）各行列
B
{\displaystyle B}
e
T
B
=
ϕ
−
1
(
0
)
ϕ
(
T
)
,
{\displaystyle e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),\ }
を満たすようなものに対し、周期
T
{\displaystyle T}
t
↦
P
(
t
)
{\displaystyle t\mapsto P(t)}
ϕ
(
t
)
=
P
(
t
)
e
t
B
for all
t
∈
R
{\displaystyle \phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \ }
を満たすようなものが存在する。また、ある実行列
R
{\displaystyle R}
2
T
{\displaystyle 2T}
t
↦
Q
(
t
)
{\displaystyle t\mapsto Q(t)}
ϕ
(
t
)
=
Q
(
t
)
e
t
R
for all
t
∈
R
{\displaystyle \phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \ }
を満たすようなものが存在する。以上の議論において、
B
{\displaystyle B}
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
R
{\displaystyle R}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
写像
ϕ
(
t
)
=
Q
(
t
)
e
t
R
{\displaystyle \phi \,(t)=Q(t)e^{tR}}
y
=
Q
−
1
(
t
)
x
{\displaystyle y=Q^{-1}(t)x}
y
˙
=
R
y
{\displaystyle {\dot {y}}=Ry}
Q
(
t
)
{\displaystyle Q(t)}
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
R
{\displaystyle R}
表現
ϕ
(
t
)
=
P
(
t
)
e
t
B
{\displaystyle \phi \,(t)=P(t)e^{tB}}
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi \,(t)}
e
T
B
{\displaystyle e^{TB}}
固有値 は、その方程式系の特性乗数 と呼ばれる。それらはまた（線型の）ポアンカレ写像
x
(
t
)
→
x
(
t
+
T
)
{\displaystyle x(t)\to x(t+T)}
フロケ指数 （Floquet exponent、しばしば特性指数とも呼ばれる）とは、
e
μ
T
{\displaystyle e^{\mu T}}
μ
{\displaystyle \mu }
k
{\displaystyle k}
e
(
μ
+
2
π
i
k
T
)
T
=
e
μ
T
{\displaystyle e^{(\mu +{\frac {2\pi ik}{T}})T}=e^{\mu T}}
リアプノフ安定 となり、それ以外の場合では不安定となる。
マシュー方程式とは、楕円柱に対する波動方程式に関連するものである。
与えられた
a
∈
R
,
q
∈
C
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ,q\in \mathbb {C} }
マシュー方程式 とは、次のようなものである。
d
2
y
d
w
2
+
(
a
−
2
q
cos
2
w
)
y
=
0.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dw^{2}}}+(a-2q\cos 2w)y=0.}
マシュー方程式は、周期係数を持つ二階の線型微分方程式である。
マシュー函数に関する最も有用な結果は、フロケの定理 [1, 2] である。その定理によれば、任意のペア (a , q ) に対するマシュー方程式の解は次の形式で表現される。
y
(
w
)
=
F
ν
(
w
)
=
e
i
w
ν
P
(
w
)
{\displaystyle y(w)=F_{\nu }(w)=e^{iw\nu }P(w)\,}
または
y
(
w
)
=
F
ν
(
−
w
)
=
e
−
i
w
ν
P
(
−
w
)
.
{\displaystyle y(w)=F_{\nu }(-w)=e^{-iw\nu }P(-w).\,}
ここで
ν
{\displaystyle \nu }
a および q に依存する定数であり、P (.) は w について
π
{\displaystyle \pi }
この定数
ν
{\displaystyle \nu }
ν
{\displaystyle \nu }
F
ν
(
w
)
{\displaystyle F_{\nu }(w)}
F
ν
(
−
w
)
{\displaystyle F_{\nu }(-w)}
y
(
w
+
k
π
)
=
e
i
ν
k
π
y
(
w
)
or
y
(
w
+
k
π
)
=
e
−
i
ν
k
π
y
(
w
)
,
{\displaystyle y(w+k\pi )=e^{i\nu k\pi }y(w){\text{ or }}y(w+k\pi )=e^{-i\nu k\pi }y(w),\,}
がそれぞれ解
F
ν
(
w
)
{\displaystyle F_{\nu }(w)}
F
ν
(
−
w
)
{\displaystyle F_{\nu }(-w)}
ペア (a , q ) は
|
cosh
(
i
ν
π
)
|
<
1
{\displaystyle |\cosh(i\nu \pi )|<1}
y
(
w
)
{\displaystyle y(w)}
q
∈
R
{\displaystyle q\in \mathbb {R} }
ν
{\displaystyle \nu }
y
(
w
)
=
c
1
e
i
w
ν
P
(
w
)
+
c
2
e
−
i
w
ν
P
(
−
w
)
,
{\displaystyle y(w)=c_{1}e^{iw\nu }P(w)+c_{2}e^{-iw\nu }P(-w),\,}
ここで
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
分数次あるいは整数次のすべての有界な解は、振動数が増加するにつれて振幅が減少するような調和振動 の無限級数として表現される。
マシュー方程式の、他の非常に重要な性質として、直交性（orthogonality）が挙げられる [3]：
a
(
ν
+
2
p
,
q
)
{\displaystyle a(\nu +2p,q)}
a
(
ν
+
2
s
,
q
)
{\displaystyle a(\nu +2s,q)}
cos
(
π
ν
)
−
y
(
π
=
0
)
=
0
,
{\displaystyle \cos(\pi \nu )-y(\pi =0)=0,\,}
の単根であるなら、
∫
0
π
F
ν
+
2
p
(
w
)
F
ν
+
2
s
(
−
w
)
d
w
=
0
,
p
≠
s
,
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }F_{\nu +2p}(w)F_{\nu +2s}(-w)\,dw=0,\qquad p\neq s,}
が成立する。すなわち、
⟨
F
ν
+
2
p
(
w
)
,
F
ν
+
2
s
(
w
)
⟩
=
0
,
p
≠
s
,
{\displaystyle \langle F_{\nu +2p}(w),F_{\nu +2s}(w)\rangle =0,\qquad p\neq s,}
が成立する。ここで <·,·> は 0 から π に対して定義される内積 である。
C. Chicone. Ordinary Differential Equations with Applications. Springer-Verlag, New York 1999.
Ekeland, Ivar (1990). “One”. Convexity methods in Hamiltonian mechanics . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. 19 . Berlin: Springer-Verlag. pp. x+247. ISBN 3-540-50613-6 . MR 1051888 Floquet, Gaston (1883), “Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques” , Annales de l'École Normale Supérieure 12 : 47–88, http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1883_2_12_/ASENS_1883_2_12__47_0/ASENS_1883_2_12__47_0.pdf Krasnosel'skii, M.A. (1968), The Operator of Translation along the Trajectories of Differential Equations , Providence : American Mathematical Society W. Magnus, S. Winkler. Hill's Equation , Dover-Phoenix Editions, ISBN 0-486-49565-5 .
N.W. McLachlan, Theory and Application of Mathieu Functions , New York: Dover, 1964.
Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0 . http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ M.S.P. Eastham, "The Spectral Theory of Periodic Differential Equations", Texts in Mathematics, Scottish Academic Press, Edinburgh, 1973. ISBN 978-0-7011-1936-2 . 
