ファン・ホーベ特異点
ファン・ホーベ特異点とは結晶の状態密度(DOS)でみられる特異点(滑らかでない点)のこと。
ファン・ホーベ特異点が生じる波数ベクトルは、ブリルアンゾーンの臨界点と呼ばれる。 3次元結晶の場合、ファン・ホーベ特異点はキンクとなり、そこでは状態密度が微分可能でなくなる。 ファン・ホーベ特異点の最も一般的な応用は、光吸収スペクトルの解析である。
ファン・ホーベ特異点は、1953年にベルギーの物理学者レオン・ファン・ホーベがフォノンの状態密度について最初に取り扱った。 [1]
理論
[編集]N粒子サイトからなる1次元格子を考える。 各粒子サイト間の距離はaで、全長はL = Naとする。 ここで、この1次元の箱の中に定在波があると仮定するのではなく、周期的境界条件を用いるのが便利である。 [2]
ここでは波長、nは整数である。 正の整数は前進する波、負の整数は後進する波を表す。
この格子中の波動の波長は最短で2aであり、このとき最大の波数となり、|n|は最大値となる。 状態密度g(k)dkを、波数ベクトルがkからk+dkである定在波の数として定義する。 [3]
3次元に拡張すると、箱の中の状態密度は、
ここではk空間での体積要素である。 また電子では2つスピンの方向を考慮して、因子2を掛ける必要がある。 連鎖律により、エネルギー空間でのDOSは次のように表せる。
ここではk空間での勾配である。
k空間での位置の組(粒子エネルギーEに対応)はk空間で面を作り、Eの勾配はこの面の全ての点と直交するベクトルである。 [4] このエネルギーEについての関数である状態密度は、
ここで積分は定数Eの面にわたり行う。
が面に直交し、Eの勾配に平行となるような新しい座標系を選ぶことができる。 この座標系が元の座標系の回転であれば、k'空間の体積要素は、
dEは次のように書ける。
g(E)の式に代入すると、
ここで項は、定E面の面積要素である。 の式は、分散関係が極値となる点でDOSの被積分関数が発散することを意味している。 ファン・ホーベ特異点はこれらの点でのDOS関数で起こる性質である。
詳細な解析[5]によると、3次元空間ではバンド構造が極大か、極小か、または鞍点かに依存して4種類のファン・ホーベ特異点がある。 3次元ではDOSの微分が発散してもDOS自身は発散しない。 関数g(E)は平方根特異性(図を参照)をもつ傾向にある。 自由電子のフェルミ面では、
- .
2次元でのDOSは鞍点で対数的に発散し、1次元でのDOSはがゼロとなるところで無限となる。
測定
[編集]固体の光吸収スペクトルは、バンド構造からフェルミの黄金律を用いて計算される。 そこで評価される行列要素は双極子演算子である。 ここではベクトルポテンシャル、は運動量演算子である。
フェルミの黄金律で現れる状態密度は結合状態密度(JDOS)で、与えられた光子エネルギーで分離される伝導帯と価電子帯での電子状態の数である。 光吸収は、双極子演算子の行列要素(振動子強度)とJDOSの積によるものである。
2次元と1次元でのDOSの発散は数学的に予想されており、容易に観測できる。 グラファイト(擬2次元)やBechgaard塩(擬1次元)のような異方性固体では、ファン・ホーベ特異点によるスペクトルの異常がみられる。 ファン・ホーベ特異点は擬1次元系である単層カーボンナノチューブ(SWNT)の光強度で重要となる。 グラフェンのディラック点はファン・ホーベ特異点であり、グラフェンが電気的中性のときの電気抵抗のピークとして観測される。 ねじれたグラフェン層も、層間のカップリングによる状態密度のファン・ホーベ特異点を示す[6]。
参考文献
[編集]- ^ L. Van Hove, "The Occurrence of Singularities in the Elastic Frequency Distribution of a Crystal," Phys. Rev. 89, 1189–1193 (1953).
- ^ See equation 2.9 in http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf From we have
- ^ *M. A. Parker(1997-2004)"Introduction to Density of States" Marcel-Dekker Publishing p.7. Archived September 8, 2006, at the Wayback Machine.
- ^ *Ziman, John (1972). Principles of the Theory of Solids. Cambridge University Press. ISBN B0000EG9UB
- ^ *Bassani, F.; Pastori Parravicini, G. (1975). Electronic States and Optical Transitions in Solids. Pergamon Press. ISBN 0-08-016846-9 This book contains an extensive discussion of the types of Van Hove singularities in different dimensions and illustrates the concepts with detailed theoretical-versus-experimental comparisons for Ge and graphite.
- ^ I. Brihuega et al., Physical Review Letters 109, 196802 (2012).