ノート:空和

「任意の」の必要性

空集合がただ一つであるのと同様に、項数が零の数列も一つだけだと考えます。「数からなる任意の空和は 0 に等しい」とありますが、「任意の」という言葉の意味が分かりませんし、付ける必要性を感じません。英語版も同様の記述ですが、この言葉は削除すべきだと思います。--風船（会話） 2016年6月9日 (木) 02:40 (UTC)

残念ながら、記事への編集内容は理由もなく取り消されてしまいました。おそらく内容を理解されていないからだと思うので、このノートでの対話を希望します。無視される場合には、もう一度同じ編集を行います。--風船（会話） 2016年6月15日 (水) 03:01 (UTC)

整数の空和かもしれないし実数の空和かもしれない．新規作成 (利用者名) （会話） 2016年6月16日 (木) 07:53 (UTC)

「数からなる」が条件を表しているので、「任意の」を削除しても、整数でも実数でも該当します。また、後で「何らかのアーベル群」という表現があるように、同様の意味を表すなら「任意の」を「数」の前に置く方が語順として妥当でしょう。あなたの示した解釈は違うと思います。--風船（会話） 2016年6月17日 (金) 03:17 (UTC)

$\sum _{n=1}^{0}n$ かもしれないし $\sum _{n=1}^{0}n^{2}$ かもしれない．新規作成 (利用者名) （会話） 2016年6月22日 (水) 14:15 (UTC)

現在のページ内容は、空和が本質的には複数存在し、規約として 0 に等しいと決めたからひとつであるのなら許せるが、規約を定める以前より空和という概念が複数の存在を許していないのだから余計である。 もし空和が新規作成さんも主張するように複数存在するのなら、項をひとつ加えた「ただひとつの項からなる数列の和」が今の何倍にも増えるから、それは認められない。 「0 個の項の数列」という概念は既知であるが、それに対応した和の存在と空和という名前を与えることがこのページの意味と思われる。 私が考えるに「任意の数列の最初の 0 項の和」が空和なので、さらに「任意の」などの余計な言葉は必要ではない。--風船（会話） 2016年6月23日 (木) 03:27 (UTC)

それはあなたがそう思っているにすぎません．新規作成 (利用者名) （会話） 2016年6月24日 (金) 05:13 (UTC)

本題に入る前に、新規作成さんの前回例に挙げた式への疑問を示す。

$\sum _{n=1}^{3}n=1+2+3$ と $\sum _{n=1}^{3}n^{2}=1+4+9$

から最初の 1 項の和を求めれば

$\sum _{n=1}^{1}n=1$ と $\sum _{n=1}^{1}n^{2}=1^{2}=1$

となる。さらに 0 項の和とすれば、例に挙げたものが得られる。 前の式は明らかに異なるから、そこから導かれる空和は異なると考えたのだろう。でも、後の式は同じだから、それから導かれる空和は同じであろう。同じものに同じ操作を行えば、同じものになるのは当然である。また、前の式から得られる空和と後の式から得られる空和も同じであるから、結局、前の式から導かれる空和もやはり同じものだと言える。 でも、新規作成さんは、別の空和を示すと考えているのだから、後の式すら異なると考えているのだろう。$1$ と $1^{2}$ は異なると考えた理由を説明してもらいたい。--風船（会話） 2016年6月28日 (火) 03:14 (UTC)

式 1 と 1² は異なります．これに疑問を抱くようなら日本語を勉強した方がいいでしょう．空和は（同じ数の範囲で考えている限り）形式的には区別できません．新規作成 (利用者名) （会話） 2016年6月28日 (火) 08:38 (UTC)

空和とは「0 個の項の数列の和」であり、「数からなる」とも書いてあるので、「同じ数の範囲で考えている限り」に該当します。 一般項を式だと考えたようですが、それは単に変数を媒介にした数の表し方です。 仮に、各項を式であると見なすなら、数ではないのだから本文の修正が必要ですね。--風船（会話） 2016年6月29日 (水) 03:38 (UTC)

総和の項目にあるような、添字集合を使った定義では問題があるのでしょうか。 Glayhours（会話） 2016年6月29日 (水) 14:51 (UTC)

添字集合と考えても問題ないと思います。数列は、ある関数を使って添字集合から変換された数の並びですから、添字集合が空集合であれば、いかなる関数を使ったとしても、変換結果は空集合であり、和というものをどう定義しようと、複数の値が導かれることはない。新規作成さんは、使った関数によって空集合からの変換結果やその和が区別できるという立場ですね。--風船（会話） 2016年6月30日 (木) 02:36 (UTC)

区別できないという立場に立つと、$\sum _{n=1}^{0}1=\sum _{n=1}^{3}0=\prod _{n=0}^{3}n$は全部ゼロで区別できないのだから、３つとも空和と呼ぶのが正しいのではないですか？ --Kik（会話） 2016年7月4日 (月) 12:55 (UTC)

総和の定義にもいくつかあると思うが、ここで私が使っているのは、

「添字集合（自然数の並びとすることが多い）をある写像を使って数列に変換し、総和という計算を行った結果得られる数」

です。添字集合が空集合である場合は「空の数列の総和」となるので、これを空和と呼ぶ。総和の結果は写像によって異なるが、添字集合（＝定義域）が空集合の写像はひとつであるから空和もひとつ、というのが私の考え。総和の定義での写像を一般項を表す式で置き換え、区別するのが新規作成さん。

Kikさんの例は、計算結果は同じなので数としては区別できないが、計算式は異なるので区別できます。また、「空和は 0 に等しい」という規約がない文脈では、空和の値は未定義なので、数としても区別されます。--風船（会話） 2016年7月6日 (水) 03:15 (UTC)

あなたの妄想の中の新規作成さんが私と同一人物であるかのような発言はご遠慮ください．新規作成 (利用者名) （会話） 2016年7月6日 (水) 12:46 (UTC)

総和の定義の中で「総和」を使うのは循環定義なので、まずそこを修正してください。--Kik（会話） 2016年7月6日 (水) 13:06 (UTC)

┌────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘(インデント戻します)--Glayhours（会話） 2016年7月15日 (金) 19:03 (UTC)

新規作成さん、私の認識がもし違っているなら、自分で訂正を試みてはどうですか？

最初の総和は、「次の総和を計算しなさい」などで使う計算式全体を表す言葉であり、「総和という計算」は、加法に基づいたいくつかの数からひとつの数を得る計算方法のことです。文脈で区別できないということであれば、後者を「加法に基づいた計算」と訂正致します。--風船（会話） 2016年7月7日 (木) 03:39 (UTC)

ということは集合$\{1,2,3,4\}$の総和は$1+3+5$で答えは9ということですね。--Kik（会話） 2016年7月7日 (木) 13:41 (UTC)

（インデントを一方的に下げていくのは好みではないのだけれど…）

集合の要素の数より数列の項の数が少ないのは、定義に不備があるのかもしれませんね。でも、どういう写像を使えばそうなるのですか？--風船（会話） 2016年7月8日 (金) 03:14 (UTC)

恒等写像に決まってるじゃないですか、写した結果も$\{1,2,3,4\}$で同じだから集合の総和って言ったんです。通じませんか？$1+3+5$がこの総和になるのは自明ですよね。--Kik（会話） 2016年7月8日 (金) 03:30 (UTC)

┌────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘(インデント戻します)--Glayhours（会話） 2016年7月15日 (金) 19:03 (UTC)

なるほど。それを含むように修正しましょう。ここでの総和の定義とは

「添字集合（自然数の並びとすることが多い）を写像を使って数列に変換し、さらに写像で変換した数」

とし、添字集合が空集合の場合を空和とします。２つの写像は、定義域と値域が数に限ることを除けば任意です。空和とそれ以外の区別には、これで十分でしょう。--風船（会話） 2016年7月11日 (月) 03:14 (UTC)

私は元の定義でも1+3+5を含むと主張しているのに、「含むように修正しましょう」というのはどういう意味ですか？この定義に同意するということで前の私の主張は否定しろということなら同意できません。さらにいうとその新しい定義は集合と二つの写像を引数としても、まだill-definedです。 --Kik（会話） 2016年7月11日 (月) 12:06 (UTC)

元々は「和というものをどう定義しようと、複数の値が導かれることはない」が始まりですから。また、こうすれば（ゼロと定義することも可能だけど）空和がゼロと同じであるとの誤解も無くなるでしょう。--風船（会話） 2016年7月12日 (火) 03:06 (UTC)

何が言いたいのかさっぱり分かりません。空和をゼロとしたら、ゼロは空和である。当たり前すぎて議論の余地などないです。--Kik（会話） 2016年7月12日 (火) 13:50 (UTC)

┌────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘(インデント戻します)--Glayhours（会話） 2016年7月15日 (金) 19:03 (UTC)

空和はゼロとするのが普通だけど、ゼロと空和は違う概念です。ゼロ以外の可能性を想像できない人ですか？それに、間違いの指摘なら考慮しますけど、「分かりません」はそうではないようですね。--風船（会話） 2016年7月13日 (水) 03:07 (UTC)

リンゴの数を3だとしたら、3はリンゴの数でしょ。これらは概念として違うけど同じに扱うって、小学校で習うレベルの話が分からないならもう勝手にしてください。--Kik（会話） 2016年7月13日 (水) 12:31 (UTC)

空和は写像によって決まり、0でも1でも2でも良いというのに。空和が0と同じなら、同じ理屈で1とも2とも同じことになり、0=1=2という結論になりますね。--風船（会話） 2016年7月14日 (木) 03:10 (UTC)

風船さんは自分で書いていることも他人が書いていることも分かっていないんじゃないかと思いますが．どうして上のようなコメントができるのか不思議でなりません．--Kik（会話） 2016年7月14日 (木) 13:32 (UTC)

┌────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘(インデント戻します)--Glayhours（会話） 2016年7月15日 (金) 19:03 (UTC)

私の論理を少しでも理解して、ゼロは空和であると言ったのなら、１は空和であるとなるかならないか、示せば足りるのでは？それは、全部を理解してなくても答えられることだし、できないなら、デタラメだったということ。

念の為、繰り返すと、ここでの総和の定義とは

「添字集合（自然数の並びとすることが多い）を写像を使って数列に変換し、さらに写像で変換した数」

とし、添字集合が空集合の場合を空和とします、でした。「空和をゼロとした」とは書かれてませんね。でも

$\sum _{n=1}^{0}1=\sum _{n=1}^{3}0=\prod _{n=0}^{3}n$は全部ゼロ

とあなたは最初に書いてるのだから、それを示してください。--風船（会話） 2016年7月15日 (金) 04:08 (UTC)

ill-definedなので0=1 --Kik（会話） 2016年7月15日 (金) 04:58 (UTC)

（インデントが更に悪化…時間を無駄にしてる気がする）

またデタラメか。これだけでは何を勘違いしてるか、判断できない。

私の修正には反対しなさそうなので、近々本文の作業に戻ろうかな。--風船（会話） 2016年7月19日 (火) 03:08 (UTC)

デタラメな定義を書いて、自分が分からないこともデタラメだと言っておけばいいなんて、数学モドキは楽でいいですね。--Kik（会話） 2016年7月19日 (火) 11:49 (UTC)

一つ目の写像として恒等写像を使い、二つ目の写像として

{} を 2, {1} を 3, {1,2} を 5, …

という風に変換する写像を使えば、空和が 2 になるなど結果は文字数となる。適切な写像を選択すれば、ちゃんと計算できますよ。--風船（会話） 2016年7月20日 (水) 03:05 (UTC)

自分で書いた定義ですら正確に展開することができないのでは話になりません。--Kik（会話） 2016年8月10日 (水) 18:07 (UTC)

もはや風船さんの論理的思考力や会話能力が壊滅的である（でなければ愉快犯である）ことは明らかでしょう．構うだけ時間と資源の無駄です．新規作成 (利用者名) （会話） 2016年7月19日 (火) 12:46 (UTC)

話があさっての方向に行きそうなので、釘を刺しておきます。英語版で件の編集をしたのは、実名で活動している数学者です。そもそも、このような trivial な事柄について、厳密に言葉遣いが決まっているわけではないので、どちらでもよいのですが、編集の意図は Buriedunderground さんも新規作成さんも私も分かっていて、原文の意図を尊重しようとしているわけです。それを、「内容を理解されていない」だの「認められない」だのと決め付けて、自分の宗教的な考えを押し付けようとしているのが風船さんです。相変わらず、数学とは天が与えるものであって、人が何かを決める自由がないとでも思っているようです。ウィキペディアのノートページは、記事の改善に資するのが目的であり、公開討論の場ではありません。これ以上、新規作成さんの時間が無駄に奪われるのは見るに耐えませんので、話を打ち切ることを強く希望します。--白駒（会話） 2016年6月30日 (木) 12:34 (UTC)

風船さんは自分で書いていることも他人が書いていることも分かっていないんじゃないかと思いますが．どうして上のようなコメントができるのか不思議でなりません．新規作成 (利用者名) （会話） 2016年7月1日 (金) 10:31 (UTC)

本文に追記された「いかなる条件」とは一般項を指しているように思えますし、例に挙げたのも一般項ですね。その範囲で考えるなら矛盾はないように見えます。しかし、数列の種類はもっと多いので、たとえば

$\sum _{n=1}^{3}n+\sum _{n=4}^{6}n^{2}$

を退化させた空和はどちらでしょう。

$\sum _{n=1}^{0}n$ か $\sum _{n=1}^{0}n+\sum _{n=4}^{3}n^{2}$

また、次の変形は一見正しそうです。

$\sum _{n=1}^{6}n=\sum _{n=1}^{3}n+\sum _{n=4}^{6}n=\sum _{n=1}^{3}(2n+3)$ よって $\sum _{n=1}^{0}n=\sum _{n=1}^{0}(2n+3)$

一般項で理解するのは応用が効かないし、原文に書かれている内容でもありません。 「ある数列の最初の 0 項の和」を空和と考えるのも「任意の数列の最初の 0 項の和」を空和と考えるのもどちらも可能だと思いますが、一般項の式が同じ一連の数列の空和が同じとする記号の使い方は、中途半端で証明も不可能なつまらない考えかたです。--風船（会話） 2016年7月4日 (月) 03:15 (UTC)

「必要がある」は必要条件か

「s₁ = a₁ および s₀ = 0 という規約を設ける必要がある」という部分の記述について、これは必要条件ではなく十分条件ではないかと思われる。可換モノイドの例として論理和を挙げるなら

0 + 1 なら s₁ = 1 ≠ a₁

1 + 0 なら s₀ = 1

という場合でも

$s_{m}=a_{m}+s_{m-1}$

は成立する。s₁ = a₁ および s₀ = 0 でも成立するから十分条件ではある。 「とする必要がある」ではなくて「という規約を設ける必要がある」となってるから、必要とする数列がひとつでも存在するなら間違いではないが、十分条件によって必要性を説くのは理由の説明方法として親切ではないと思う。十分条件を必要条件と思わせることこそが編集の意図かも知れないが。--風船（会話） 2016年7月26日 (火) 03:19 (UTC)