ノート:図式 (圏論)

この記事には問題があります。図式スキームという用語はもはや死語です。圏論の基礎から引用すると、

ゆえにグラフはしばしば図式スキームや前圏と呼ばれる.

[訳注] 最近ではこれらの用語はほとんど使われない.

いまではこれは有向グラフと呼ばれます。有向グラフと言えば多くの人に通じるものを図式スキームといったなにやら難しそうな用語で再定義する必要はないはずです。さらに圏論では有向グラフの性質は基本的に使いません。このグラフの生成する自由圏のみが意味を持ちます。英語版でよく文献として使われている「Abstract and Concrete Categories The Joy of Cats」では図式のスキームの定義は異なっていて、たんに函手のドメインのことを言っています。これは、図式のスキームとして適切なものは圏であって有向グラフではなかったということです。

執筆者はわざわざ圏論黎明期の古代の文献をあさって、今では不要になったこの概念の独自研究をしていると思われます。 --Kik（会話） 2015年2月21日 (土) 09:17 (UTC)

今見つけたので反論しますが、図式スキームは図式を定義する際に必要なもので、圏論において必須のものです。図式自体をいきなり共変関手として定義してしまうと図式をなんで共変関手として定義するのか意味がわからないとおもいます。一旦図式スキーム（または前圏）という名称の圏論の概念を導入したほうが理解がしやすいと思います。---I.hidekazu（会話） 2020年4月14日 (火) 14:21 (UTC)

図式のドメインを前圏という根拠

前圏の出典をご所望とのことで回答になります。上でも記載がありますが、圏論の基礎（Categories for the Working Mathematician）において有向グラフはしばしば図式スキームや前圏と呼ばれるとあります。つまりスキームと前圏はおなじもので、または前圏と呼ぶといって支障はないはずです。

言い方を変えると、圏は前圏に恒等射の対応付けと合成の対応付けを付加したものとして圏論の基礎で定義されています。当然のことながら圏は前圏（図式スキーム）でもあるわけです。つまり、特に図式と呼ばれるような関手のドメインは図式の型式の元となる前圏（図式の概形；スキーム）であるわけです。だから関手を図式と呼べるわけです。ちなみに、なんで二通り呼び方があるのかというと、グロタンディーク流の呼び方が図式スキームで、マックレーン流の呼び方が前圏と流派によって違うからのようです。--I.hidekazu（会話） 2020年4月24日 (金) 15:44 (UTC)

君がここで言ってることと、君が書いた「この図式の添字圏 (index category) やスキーム（scheme）または前圏（precatgory）と呼ぶ。」では主張が違うと思うのですが --Kik（会話） 2020年4月24日 (金) 17:49 (UTC)

僕がここで言っていることはスキーム（図式スキーム）と前圏は同じ概念だからまたはでつないで紹介しても支障はないということです。貴公が問題としているところがよくわかりません。図式のドメインを添え字圏に限定したいというわけでもないのなら前圏としても問題ないと思います。--I.hidekazu（会話） 2020年4月25日 (土) 11:58 (UTC)

そもそも、この文で言及されているスキームは君の言う図式スキームとは違うでしょ --Kik（会話） 2020年4月25日 (土) 14:46 (UTC)

ここでいうスキームは圏論の基礎にもある有向グラフである図式スキームですよ。図式は（多重）有向グラフがないと形式的に定義できないので圏論的にも必須ですよ。矢印で図を書いたら数学的な図式というわけではないわけで、図式のタイプの元となる概形が必要になるわけです。貴公が違うという根拠はなんなんでしょうか。したらここでいうスキームとはなんのことを言っているのでしょうか。--I.hidekazu（会話） 2020年4月25日 (土) 15:47 (UTC)

ふざけないでください。この文自体ににスキームとは何か完全に書いてあるじゃないですか --Kik（会話） 2020年4月25日 (土) 15:54 (UTC)

有向グラフのことですね。有向グラフを図式スキームと言ったり前圏と言っているだけです。圏論の基礎にも前圏（precategory）という用語が書いてあるのですから、図式のドメインを前圏と導入しても問題ないと思いますが、貴公的に何がまずいんですかね。--I.hidekazu（会話） 2020年4月25日 (土) 16:16 (UTC)

「このドメインの圏 J のことをこの図式の添字圏 (index category) やスキーム（scheme）と呼ぶ。」という文から、なんで突然有向グラフが出てくるんですか？ふざけてやってるようにしか思えません。--Kik（会話） 2020年4月25日 (土) 18:04 (UTC)

圏論の基礎において圏は、対象と射、ドメインとコドメイン関数からなる有向グラフ（これを図式スキームとも言います）に恒等射と合成射と呼ばれる２つの関数を付与したものとして定義されます。つまり、まず（多重）有向グラフがあり、それに恒等射と合成射の対応付け関数を加えたものが圏であると、そういう構成になっているわけです。言い換えると、圏は圏としての構造を忘れると有向グラフになるということがいえます。圏論において図式（diagram）というとこの有向グラフから圏への対応付け（関手）として定義されます（これはグロタンディークが行いました）。この文脈でいうと、スキーム（図式スキーム）というとこの有向グラフのことを指すわけです。

こういうわけで突然有向グラフが出てくるわけではなく、圏論特有の図式の定義上有向グラフが重要になってくるわけです。有向グラフは図式の概形を決める以上、有限のものを考えることが多いです。関手圏（functor category）にしても、図式の圏として考えることでその有効性が理解されると思いますので、有向グラフの像としての図式の概念を正確にしておくことは重要だと思います。--I.hidekazu（会話） 2020年4月26日 (日) 08:10 (UTC)

だから何度も言うように「このドメインの圏 J のことをこの図式の添字圏 (index category) やスキーム（scheme）と呼ぶ。」の文に出てくるスキームが君の言うスキームと異なることは、この文を見るだけで分かるでしょ。何回同じことを言わせるの。真剣に数学をやる気がないなら、これ以上手間をかけさせないでください。--Kik（会話） 2020年4月26日 (日) 13:35 (UTC)

ご返事が遅れましたがすでに取り消しした後だったようですね。これは取り消ししていなかったら回答として述べようと思ったことですが、何歩か譲って、前圏を図式のドメインを示す用語として出すのは図式の概念を理解にあたって逆にわかりにくくなる可能性があるので記載しないということで了解しました（もうすでに取り消された後ですが）。ちなみに、ここでいうスキームは局所環付き空間であるわけないので図式スキームと考えるのが自然です。

圏論は最近数学としては流行っているようですし、情報をちゃんと上げておくということは重要だと思います。流行する数学理論というのは私の感覚からすると何か具体的な応用が存在するといったなにか原因があるから流行ると思っているので（楕円関数論、複素解析、四元数など）、これから圏論を使ってなにか具体的な問題を解こうとする人が応用の方向性を書いていってくれるような雰囲気が作れればいいですね（かといって、例えば圏論が複素力学系の問題を具体的に解くにあたって有効だとか調和解析の問題を作るのに有効だ、といった根拠のない突飛なことを書くのは御法度ですが）。

私の感覚からすると数学を行うにあたってその具体的な応用を想定しておくことは重要だと思います（圏論に関して応用はあまり知りませんが）。応用数学を中心に考えているようで貴公にとっては真剣に数学を考えていないという評価になるのかもしれませんが、何に使えるか考えておくことはその理論の正しさを確かめる上でも大事なのではないでしょうか？--I.hidekazu（会話） 2020年4月30日 (木) 13:21 (UTC)

ようするに応用数学のためなら出鱈目を書いてもいいという認識なのですか？真面目に応用数学をやってる人に大変失礼なんじゃないですか？--Kik（会話） 2020年4月30日 (木) 17:02 (UTC)

そんなことは言ってないですね。応用することは正しさを確かめる上でも大事だという認識ですね。貴公は英語は得意なのに日本語だとそうなるのはなにか理由があるんですかね。--I.hidekazu（会話） 2020年5月1日 (金) 14:08 (UTC)

そう思うなら出鱈目なことを書くのをやめてください--Kik（会話） 2020年5月1日 (金) 14:13 (UTC)

貴公は英語が本当に得意なのはわかります。ただ、出典はつけていますし、疑問点があればこうやってできるかぎり回答しています。意味の通らない記述があれば細かく修正もしています。--I.hidekazu（会話） 2020年5月1日 (金) 15:06 (UTC)

上でずっと同じ指摘を続けていたのですが、一向に直す気がないですよね。疑問点ではなく明確な誤りの指摘ではありますが。--Kik（会話） 2020年5月1日 (金) 15:32 (UTC)

前圏を図式のドメインの用語とするかどうかという話はリバートされて終わったんじゃないですか。数歩譲って別記載しなくてもいいと書きましたよね。またその話するんですか？できる限り対応するつもりでしたが、もう手間なので同じ話繰り返すのは結構です。--I.hidekazu（会話） 2020年5月2日 (土) 13:11 (UTC)

譲るというのが何を言ってるのか分からないのですが、「ちなみに、ここでいうスキームは局所環付き空間であるわけないので図式スキームと考えるのが自然です。」を見るに全く直ってないじゃないですか。これ以降は明らかに正しくない編集をして他の人の作業を増やすのはやめてください。--Kik（会話） 2020年5月2日 (土) 15:26 (UTC)

改めて読み返しても不自然な反論ばかりですね。どちらにも何もメリットがない。何か目的があって意図的に変な反論をしているんじゃないですか？圏論まわりは意図的におかしなことをしている人がいるとしか思えないことが多いです。--I.hidekazu（会話） 2020年6月9日 (火) 15:21 (UTC)

そもそも、翻訳とはいえ書いた本人が「ここでいうスキーマは～」というつもりで書いたのでは全くないと断言しているのに、何がそんなに不満なんです？どうしても気になるなら先に英語版を直してくればいいんじゃないですか？--Kik（会話） 2020年6月9日 (火) 17:22 (UTC)

だから蒸し返さないでください。「ここでいうスキーマは〜」でいうところのスキーマとは文脈から私が前書いたとおりです。英語版を直すと言っても貴公の「ボス」みたいな人物が出てきて同じような不毛な話になるのは目に見えています。そもそも、寡聞ながら私は一度もそんなこと聞いたことはありますが、各国のウィキペディアの数学物理の記述は英語版に必ず準拠しないといけないというルールでもあるんですか？そんなわけないですよね、独自のものを書いていいはずです。--I.hidekazu（会話） 2020年6月11日 (木) 11:14 (UTC)

蒸し返すも何も他に話すことなんてないでしょ。あと英語版で拒否されるような出鱈目な編集を日本語版でもやるなって意味ですよ。--Kik（会話） 2020年6月11日 (木) 15:46 (UTC)