ノート:中心極限定理

2006年4月22日 (土) 01:12

確率変数が従うのでしょう？ 明言するべきです --以上の署名のないコメントは、61.7.2.217（会話/Whois）さんが 2006-04-22 01:12:13 (UTC) に投稿したものです。

本文の間違いについて指摘 20141021

「従って、nが十分大きいとき近似的に」以降の記述で√n倍したものがN(0,σ^2/n)に従うとありますが、正しくは N(0,σ^2) ではないでしょうか？ --Nihiliste（会話） 2014年10月21日 (火) 04:20 (UTC)

2024年9月5日 (木) 11:22の編集について

中心極限定理が

$\lim _{n\to \infty }\varphi _{S_{n}}(t)=\exp \left(n\mu \,i\,t-{\frac {n\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)\quad (t\in \mathbb {R} )$

と書き換えられましたが、この等式は、左辺がｎについての極限で、右辺が極限でないため、成立しません。
元に戻します。--110.131.198.87 2024年10月13日 (日) 13:59 (UTC)

これの何が不満なのかよく分かりませんが、『部分和 $S_{n}$ の確率分布の極限は、正規分布 N(nµ, nσ²) に収束する』という事実は、ありとあらゆる文献で紹介されている定理ですよ。

それをそのまま数式化しただけに過ぎません。--ゲリラリラックス（会話） 2024年12月3日 (火) 09:23 (UTC)

何も分かっていないようですね。「部分和 S_n の確率分布の極限は、正規分布 N(nµ, nσ^2) に収束する」というのは、中心極限定理そのもので、当たり前のことですが、それをどのように数式で表現するかという問題で、間違った数式で表したら、ダメでしょ。ゲリラリラックスさんの書いた式は、等号が成り立ちません。しかも、「中心極限定理」という記事で、中心極限定理そのものを表す式で、間違ったら、話にならないでしょ。

$\lim _{n\to \infty }\varphi _{S_{n}}(t)=\lim _{n\to \infty }\exp \left(n\mu \,i\,t-{\frac {n\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)\quad (t\in \mathbb {R} )$

なら数学的に等号は成り立ちますが、右辺は、(t=0のとき1、t≠0のとき0)となり、中心極限定理を意味しません。編集を元に戻します。--110.131.198.87 2024年12月4日 (水) 15:38 (UTC)

横から口を挟みますが、変数 n に依存しない左辺が依存する右辺と一致するわけないじゃないですか。それに分布収束を「そのまま数式化」したら特性関数なんてそもそも出てこないんですよ。仮に数学的な問題をすべて修正したとしても、元の記述には標準的な内容がきちんと出典のページ数まで指定されていた点を踏まえると、それだけでは記事の改善にすらなっていないです。--ARAKI Satoru（会話） 2024年12月4日 (水) 15:16 (UTC)

いま私の手元にある数学書を参照してみますと、『部分和 $S_{n}$ の確率分布は、十分大きい $n$ に対して、近似的に N(nµ, nσ²) に従う。』と書かれています。

『近似的に』という記述がありますが、これはつまり言い換えれば『 $n$ をもっともっともっと大きくすれば、完全に正規分布に一致する』ということを意味します。

そして、分布が正規分布に一致するということは、すなわち確率密度関数や特性関数もまた、正規分布のそれに一致するということです。

ところで、正規分布 N(nµ, nσ²) の確率密度関数 $f(x)$ と特性関数 $\varphi (t)$ は、それぞれ

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-n\mu \right)^{2}}{2n\sigma ^{2}}}\right)$

$\varphi (t)=\exp \left(n\mu \,i\,t-{\frac {n\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$

で与えられることが知られています。

以上のことから、 $n\to \infty$ の極限を取ると、 $S_{n}$ の確率密度関数 $f_{S_{n}}(x)$ は $f(x)$ に収束し、特性関数 $\varphi _{S_{n}}(t)$ は $\varphi (t)$ に収束します。

以上の議論に、どこか数学的な誤りは有りますか？なお、冒頭の『部分和⋯⋯に従う。』の文言は、多くの数学書に同じように記述されていると思いますので、数学書のタイトルについては説明を省きます。

追記。

部分和 $S_{n}$ が受け入れられないというのであれば、標本平均 ${\bar {X}}$ でも良いですよ。その場合、中心極限定理は、

$\lim _{n\to \infty }f_{\bar {X}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2{\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}\right)$

あるいは、

$\lim _{n\to \infty }\varphi _{\bar {X}}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {{\frac {\sigma ^{2}}{n}}t^{2}}{2}}\right)$

と表されます（レヴィの連続性定理により、確率密度関数と特性関数は一対一対応するので、どちらの式を選んでも良い⋯⋯はずです。ここの認識が間違ってたらすみません。）。

--ゲリラリラックス（会話） 2024年12月5日 (木) 08:32 (UTC)

とりあえず目につく問題点をいくつか指摘します．

1. まず n に関する極限をとるのだから極限分布は当然 n には依存しません．依存していれば，それは定式化がそもそも間違っています．同様に書かれた lim 交じりの式は結果に n が残っている時点で詳しく見るまでもなく明らかに間違っています．

2. 『部分和 S_n の確率分布は、十分大きい n に対して、近似的に N(nµ, nσ²) に従う』という文自体は特に問題ありません．けれども，これは（第一の問題点に抵触しないためには）標準化された部分和の従う確率分布が標準正規分布に分布収束する，という風に数学的には理解するのが普通です．そして分布収束するとは（標準正規分布の累積分布関数 Φ に関する各連続点 α で）累積分布関数が収束しているというのが数学的な定義です．元々の記述はこの通りでした．なので確率密度関数も特性関数も直接的には中心極限定理の主張とは無関係です．

3. 分布収束と特性関数の各点収束に対応があるのは非自明な事実であり，定義通りではありません．また仮に主張を標準的な述べ方でない特性関数の各点収束とするならば，その証明でレヴィの定理に言及するのはおかしいです．

--ARAKI Satoru（会話） 2024年12月5日 (木) 12:30 (UTC)

1の問題点があることは、私も理解しています。私も、そこまで数学オンチではありません。

ですがこの方法以外に、この記事を改善する方法が思いつかないから、困っているのです。

$P\left({\frac {S_{n}-n\mu }{{\sqrt {n}}\sigma }}\leq \alpha \right)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\alpha }e^{-x^{2}/2}dx\qquad (n\to \infty ).$

この書き方だと『標準化された確率分布だけが、正規分布に収束する』という誤解を、読者に与えかねません。

中心極限定理#証明節においても、 $X_{j}$ を $Y_{j}$ に標準化してから証明を進めており、『 N(0, 1) 以外の正規分布への収束』についての説明が一切ありません。

私が、わざわざ $n$ が残ったままの極限を記事に載せたのは、期待値 µ, 標準偏差 σ を使った数式が絶対に必要だと思ったからです。

私は、 µ, σ を使った極限の式が、

$\lim _{n\to \infty }\varphi _{S_{n}}(t)=\exp \left(n\mu \,i\,t-{\frac {n\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)\quad (t\in \mathbb {R} )$

以外に思いつかなかっただけであって、ぶっちゃけ、 N(nµ, nσ²) を使うことにこだわりは無いので、別に N(nµ, nσ²) 以外でも全然良いです。

『標準正規分布に収束する。』ではなく『正規分布に収束する。』とあなたが主張するのであれば、 µ, σ をしっかりと式に含めるのが筋でしょう。たとえば、

${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha }\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)dx$

などでも全然OKです。これなら『 $n$ を含んだままだ』というご指摘には当たりません。--ゲリラリラックス（会話） 2024年12月5日 (木) 17:00 (UTC)

「$n\to \infty$ の極限を取ると、 $S_{n}$ の確率密度関数 $f_{S_{n}}(x)$ は $f(x)$ に収束し、特性関数 $\varphi _{S_{n}}(t)$ は $\varphi (t)$ に収束します。以上の議論に、どこか数学的な誤りは有りますか？」

数学的な誤りは、最初から書いていますが、両辺極限の$\lim _{n\to \infty }\varphi _{S_{n}}(t)=\lim _{n\to \infty }\varphi (t)$ は言えても、左辺だけ極限を取った$\lim _{n\to \infty }\varphi _{S_{n}}(t)=\varphi (t)$は言えないのに、左辺だけの極限を使っている点です。nは「独立同分布の確率変数の個数」と定義したのですから、左辺と右辺で意味が違うことはできず、違わせれば等号は成立しません。追記で出された式も、左辺はｎが無限大（の極限）で、右辺がｎは有限の値ですから、等号は成立しません。

また、部分和の極限分布は「分散無限大の正規分布」になり、標本平均の極限分布は「分散ゼロの正規分布」になりますから、どちらでやっても議論は破綻します。普通は正規化し、極限分布を「分散１の正規分布」として議論を進めるものです。

あと、中心極限定理は「極限の分布を出すところ」までが定理であって、証明の通過点でしかない「特性関数を出すところ」で止めるというのは、定理を全部解説していることになりません。--110.131.198.87 2024年12月5日 (木) 13:57 (UTC)

> 普通は正規化し、極限分布を「分散１の正規分布」として議論を進めるものです。

その方法だと、読者に対して誤解を与えかねません。そのことに関して、元の版において何かしら説明がなされているというわけでも無いですし、絶対にダメです。

この『標準化』についての私の主張の詳細は、1つ上に記載しました。--ゲリラリラックス（会話） 2024年12月5日 (木) 17:04 (UTC)

なんだか定式化で標準化されたものを考えるのが不満らしいというのは理解しました．けれども極限分布が標準正規分布であるというのが中心極限定理の主張であり，これが読者に誤解を与えるとかいうのは見当違いです．どちらかと言えばこれまでの発言からして，あなたが中心極限定理を誤解しているというか，実際的な直観的説明に理論的な数学的理解を結びつけられていないという印象を受けます．明示的に「十分大きな n について標本平均の従う確率分布が平均 μ，分散 σ²/n をもつ正規分布で近似できる」ということの数式による表現として書かれているものに

• C. R. ラオ (1986). 統計的推測とその応用. 東京図書. p. 120. NDLJP:12607744 

が挙げられますが，式 (2c.5.6) はやはり標準化された形になっています．

Wikipediaは出典の明記が物を言うので，仮に間違っていようが（迷惑ですが）所望の形で数学的に定式化された記述のある本を具体的に示せば原理的にはよいわけです．普通の述べ方についてはW. フェラーの本やC. R. ラオの本がすでに具体的に挙げられています．これらはオンラインで中身を読むことさえできます．（ちなみに両著者ともに非常に高名な数学者です．）もしまた何か編集を加えるにしても，できる限り出典を明記してください．--ARAKI Satoru（会話） 2024年12月6日 (金) 16:13 (UTC)

それはもちろん理解しています。

しかし、たとえそうだとしても、特性関数が、 $\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)$ から $\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$ へと発展する過程を一切説明しない（補足節すら存在しない）のは、極めて不自然であり、Wikipediaという百科事典としての体裁を保つためには、不適切であると言わざるを得ません。

もう一度申し上げますが、中心極限定理は『標準正規分布に収束すること』ではなく『正規分布に収束すること』を主張する定理です。実際、 $S_{n}$ は N(0, 1) ではなく、 N(nµ, nσ²) に収束し、その確率密度関数 $f(x)$ は、

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-n\mu \right)^{2}}{2n\sigma ^{2}}}\right)$

で与えられます。このことは数学的に正しいです。 $n$ を含んだ式を貴方が受け付けないというのであれば、別の方法でも良いですが、少なくとも「標準化しなければ、正規分布には収束しない」と誤解させるような数式を書くのはおかしいと思います。

標準化せずに、確率変数そのままの状態で極限を取るべきです。--ゲリラリラックス（会話） 2024年12月7日 (土) 03:58 (UTC)

まず、レヴィの連続性定理は、「特性関数のnについての極限が、tについての連続関数になれば、極限の分布が存在する」という内容ですが、

$\lim _{n\to \infty }\varphi _{S_{n}}(t)=\lim _{n\to \infty }\exp \left(n\mu \,i\,t-{\frac {n\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)\quad (t\in \mathbb {R} )$

は、tについての連続関数になりませんので、極限の分布は存在しません。（分散無限大の正規分布は存在しない。）

それで、「標準化」についての議論ですが、どのような読者を想定して記事を書くのでしょうか。

「確率変数Zが、N(0,1)に従えば、aZ+bはN(b,a^2)に従う」「確率変数Xが、N(μ,σ^2)に従えば、(X-μ)/σはN(0,1)に従う」という話は、私の世代では普通に中学校で習いましたが、今は高校で習うのでしょう。「正規分布」「標準化」「標準正規分布」はセットで習うことで、中高生でも理解できます。「中心極限定理」の記事の読者に「正規分布」の知識を想定するのは普通のことでしょう。

これに対し、「特性関数」は中学高校では絶対に習わないし、文系の大学生も習わないし、知っているのは理系の大学以上で、「フーリエ解析」の統計への応用を習った人に限定されます。さらに「レヴィの連続性定理」に至っては、フーリエ解析に加えて「測度論」を厳密にやらないと理解できませんから、理系の大学以上のごく一部の人（数学を専門にした人）しか理解できません。「もし」ですが、「中心極限定理」の記事を読むのに、「レヴィの連続性定理」の理解を前提とするのであれば、「標準化」は当然知っているとして良いでしょうし、そこで誤解することはないと思います。

編集方針としては、「定理」の節は、定理の紹介で、中高生でも理解できる文章にし、「特性関数」や「レヴィの連続性定理」の記載をしない、「証明」の節は、「レヴィの連続性定理」の知識を前提として記載する、というのが良いと思います。--110.131.198.87 2024年12月7日 (土) 06:10 (UTC)

（追記）「標準化」するかしないかの違いは、分布関数のレベルでは

$P\left({\frac {S_{n}-n\mu }{{\sqrt {n}}\sigma }}\leq \alpha \right)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\alpha }e^{-x^{2}/2}dx\qquad (n\to \infty ).$

$P\left({\frac {S_{n}-n\mu }{\sqrt {n}}}\leq \alpha \right)\to {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int _{-\infty }^{\alpha }e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}dx\qquad (n\to \infty ).$

の違いでしかありません。上段左辺の$(S_{n}-n\mu )/({\sqrt {n}}\sigma )$は「標準化」という名前を持っているのに対し、下段左辺の$(S_{n}-n\mu )/{\sqrt {n}}$には名前がなく、「${\sqrt {n}}$で割るってなんだよ」という疑問が出ると思いますが、${\sqrt {n}}$で割らないと極限は収束しなくなりますから、消す訳にもいきません。どちらでも数学的には正しいのですが、上段の式の方が理解しやすいと思います。--110.131.198.87 2024年12月8日 (日) 05:11 (UTC)

このノートへの最後の書き込みから1週間が経ちました。その間ゲリラリラックスさんは、毎日他の記事を編集していますが、このノートには何も書き込んでいません。もう本件の議論は終了とし、記事は現状で合意されたとして良いと思いますが、いかがでしょうか。--110.131.198.87 2024年12月15日 (日) 07:16 (UTC)

返信 「現状（2024-12-05 18:04:39 (UTC)の版）で合意された」と見なしてよいのではないかと思うのですが、たとえばARAKI Satoruさんがご紹介くださったC. R. ラオの本（『統計的推測とその応用』東京図書, 1977年〈新装版 1986年〉, NDLJP:12607744）などを主ページに出典として用いて、この定理の具体的な使われ方・応用範囲、また参考文献・関連文献の記述を充実させていただけるとうれしいなと感じました。感想まで。--Yumoriy（会話） 2024年12月15日 (日) 17:42 (UTC) / 補訂--Yumoriy（会話） 2024年12月16日 (月) 02:53 (UTC)