ノート:一般相対性理論

使われている方程式の特徴として、両辺がイコールで結ばれていることを強調していますが、方程式とはそもそも等式であらわされるものを言うので、この記述には疑問を覚えます。削除するか、大幅な書き換えを提案します。--Zaraki 2005年4月26日 (火) 12:31 (UTC)

私は加筆もしておりませんが、以下の対処方法ではいかがでしょうか。「使われている方程式の特徴」という節のタイトルを「使われている式の特徴」と書き換え、この節の本文中の「方程式」を「式」に置き換えるというものです。屁理屈にしかならないかもしれませんが、Zaraki氏の批判には対応したことになると思います。211.133.49.81 2005年4月26日 (火) 15:08 (UTC)

それはそれで間違いではないと思うのですが、物理学の理論に現れる式はほとんどが方程式で(例外としてエントロピー増大則とか、ベルの不等式とかはあるにしても)、「使われている式が方程式であること」というのが一般相対性理論の特徴とはやはりいえないと思います。書き直すとしたら、強調する点を「イコール」から「右辺」と「左辺」に変更するべきと考えます。後で時間とって書き直して見ます。--Zaraki 2005年4月27日 (水) 01:31 (UTC)

一般相対性理論については詳しくないのですが、こういうことでしょうか。つまり、一見何の関係もないような別々の概念が実は等しいのだ、というところに驚きを感じるというようなことを表現したいと。そうであれば、“左辺”、“イコール”、“方程式”のような数学ジャーゴンを無理に使わなくても表現できるのではないでしょうか。- Kk@「Wiki Way」紹介中 # 「一見何の関係もないような別々の概念」というといいすぎでしょうか。まあそのあたりは意を汲み取って頂ければ幸いです。

書き直しました。数学用語にこだわらずに表現できていると思います。で、Kkさんのおっしゃるように、思いがけない二つの量がイコールで結ばれる驚きや美しさ、というのが表現したいことなワケですが、この種の美しさというのはたいていの物理理論に存在するわけで「イコールで結ばれてることが一般相対論で使う式の特徴」と言われると「いや、それ他の理論でもそうだし」という違和感を持つわけですね。「エネルギー密度と幾何学的量が結ばれていること、が一般相対論の特徴」という論旨で書き直すなら納得できる、と。よって、そのように書き直しました。--Zaraki 2005年4月29日 (金) 13:49 (UTC)

量子力学との関係が嘘だったので修正しておきました。あと、「他の重力理論との関係」も一般相対性理論は現在確立している『唯一』の重力理論であり、不要なので削除しました。（利用者:Peko 1221さんによる、2006-08-18 00:58:15 JSTの投稿 Redattoreが署名を追加）

量子力学との関係は修正後、よくなったと感じました。確かに修正前の内容は誤っておりました。他の重力理論との関係に付いてはよく分かりません。---Redattore 2006年8月17日 (木) 16:30 (UTC)

予言と歴史と方程式の特徴　加筆

wiki　初投稿です．一般相対論の予言にブラックホールや宇宙論に関する記述がなかったので，加えました．また，歴史の項と，方程式の特徴の項も加筆．正確なものと信じております．歴史の項は，いずれ，一般相対論成立までと，成立後に分けて詳述する必要があるでしょう．方程式の特徴や，相対論の応用については，他の項目と記載レベルを統一して，より一層使いやすくする必要があると思います．wiki上の文法等で修正があれば，よろしくお願いします．

細かいですが：「距離が虚数」？

この言い方は、直感的にわかりやすい一方、あまり見かけない表現で、誤解を招きそうな気もします。「空間的距離」「時間的距離」という表現が多いように思いますが、「距離が虚数」という表現をしている文献はどのくらいあるのでしょうか？

ご承知のように通常、複素数の大きさは、虚部と実部各々の絶対値（正数）を二乗して足したものの平方根です。偽ベクトルでは内積の定義が異なるわけで、一般相対論では空間座標値自体が複素数になることまでは考えていないように思います。通常は対称性から実対称な計量を考え、従って局所的には、連続的な実座標変換により実数行列に対角化できて符号数も保たれるのだと思います。（数学で、ある対称性を持った空間に「複素計量を入れる」というような言い方をすることはありますが）。

ところで、素粒子物理学におけるW^±ボソンやZ⁰ボソンの質量は複素数ですが、この実部はピークエネルギー、虚部は崩壊幅をあらわすので、ラグランジアンから計算される観測可能量自体は実数です。でないとたぶん、ユニタリー性が破れて、確率保存則が成り立たなくなってしまいます。このへん、基本的な事柄ですが、正確かつ簡潔に書くのは難しそうですね。私はこの世界から去って久しいので多少不正確な言い方をしてしまうかもしれませんが、加筆者各位のご尽力に期待いたします。--nisimiyu 2007年11月11日 (日) 02:27 (UTC)

revision 21966307 に関して

203.141.134.169さんによって概要が削除されましたが、少々性急なんではないでしょうか？ 実際のところは「概要」は記事の他の部分と重複が多かったので、削除しても問題ないように思いますが、 ひとこと編集の意図をコメント欄にいれてくださるなりしてくださればと思います。とりあえず undo しておきました。 --An apple zealot 2008年9月30日 (火) 15:51 (UTC)

一般相対性理論の応用 GPS の記述に関して

「自動車などの位置をリアルタイムに測定表示するカーナビゲーションシステムが実用となるのは、一般相対性理論が正確であるからである。」とありますが、これだと一般相対性理論がなければカーナビゲーションシステムが実用にならないように読者は誤解します。しかし実際は、一般相対性理論がなくても、GPS衛星の軌道と原子時計のずれを実測することにより補正できますし、ましてやGPS衛星の高度がほぼ一定ならば補正はとても単純です。つまり、カーナビゲーションシステムの実用に一般相対性理論を持ち出す必要は特にありません。しかし、GPS衛星の時間がなぜずれるかを知りたいというなら一般相対性理論が役に立つでしょう。ただそれだけのことです。これは、火とは何かを説明できない原始人が火を利用していたことと似ています。「一般相対性理論がなければカーナビは実用化できなかった」という記述は正しくありませんので修正した方が良いと思いますが、いかがでしょうか？--sera 2009年6月25日 (木) 16:00 (UTC)

修正しました。おまけに余計な段落も付けました。--An apple zealot 2009年6月26日 (金) 17:40 (UTC)

「仮にこれを考慮せずに運用したとすると、位置情報は1日ごとに12km（光が0.00004秒に進む距離）ずつ誤差が増加してゆき、すぐに使い物にならなくなってしまう。」という文書について。 位置情報のずれを出すには,衛星の速度を考慮して誤差の時間内でどれだけ衛星が移動するかを求め、総合的に計算をしなければならないはずです。また、すべての時刻が同じだけ進んでいるなら、差分を採ることで電波が衛星から受信機まで伝搬するわずかな時間への影響は無視できるほど軽減され、「100億分の4」の割合だけが維持されます。 「誤差が増加」してしまう時刻の方は衛星の速度と掛け合わせて位置情報を計算します。これと光の速度を掛けてＧＰＳの誤差だと解説している文献もあるようですが、計算式について慎重な考察がなされていないのが現状です。仮に時刻の誤差を１秒とした場合、地球の円周上を大きく外れる30万kmもの誤差となり、ＧＰＳの仕組みを考慮した計算式ではないと判断できます。 確認がとれるまで削除するというのはいかがでしょうか。--maxwell Edison 2010年1月7日 (木)

上記指摘した文章と、それを受けた「逆に言えば、一般/特殊相対論が知られていない状態でロケット技術が発達してGPS衛星が打ち上げられた世界を想定すると、その測定結果から相対論を発見する手がかりが見つかるということになったかも知れない。」は、個人が想定した仮想条件に独自の見解を加えた研究発表として削除させていただきました。--maxwell Edison 2010年3月22日 (月)19:40(UTC)

大事な要素を復活したい

昨年末より、本記事が修正、改善がなされています．修正、改善には敬意を表するのであうが、重要な要素が削除されています．

一般相対論の中でのRiemann接続の記載が削除されています．（後日、テンソル = 0 が追記されていますが、、)

特殊相対論から一般相対論へ移行部分、Einstein方程式の導出の部分にあった記載のことを指しております．時空のLorentz計量を局所座標で表示し、計量接続するだけでは一般相対論はでてこないように思います．やはり、リーマン幾何学の基本定理のように、一意にLevi-Chivita接続（Riemann接続）が選択でき、このことから方程式が定まってくるという展開が必要と思います．

もとの文書を記載したものではありませんが、「スリム化」することで失われた部分を補う必要があるように思います．--Enyokoyama（会話） 2015年1月15日 (木) 02:56 (UTC)

レヴィ・チヴィタの平行性概念が出たのは一般相対性理論の発表された翌年の1916年で、その後にエリ・カルタンによって接続概念が導入されました。すなわち一般相対性理論のアインシュタイン方程式の導出に接続概念は使われていません。ちなみに、接続云々が大事なのは一般相対性理論ではなく電磁気学と重力を統一する試みの統一場理論です。ヘルマン・ワイルなどが有名です。この時期のリーマン幾何学というのは、幾何学と言いつつクラインのエルランゲンプログラムが適用できない形で発展してしまい、幾何学的描写というのはほとんど考慮されなかったといわれます。レヴィ・チヴィタの平行性によってリーマン幾何学の幾何学的面がようやく認識され、カルタンの接続概念の導入によって、リーマン幾何学にもエルランゲンプログラムが適用できるということがわかり（そのためにリー代数が出てきます）、それから接続を重視する現代の微分幾何学につながっていくわけです。

アインシュタイン方程式の導出で特に必要なのは物質が無いのときの平坦性の条件とポアソン方程式です。--I.hidekazu（会話） 2015年1月15日 (木) 12:10 (UTC)

「レヴィ・チヴィタ接続」、「リーマン曲率テンソル」、「リッチテンソル」の説明が削除されています．一般相対論は、何故、リーマン幾何学なのかということです．後日追記されている{{quotationの中の「ある座標系」と、各成分が 0 となる「テンソル」は何を指しているのでしょうか．

1. ある座標系とは、与えられた計量に対して、一意に選択できるレヴィ・チヴィタ接続により決定される局所座標系
2. テンソルとは、リーマン曲率テンソルのことではなく、曲率テンソルの捩れテンソルのことで、0となるのは捩率テンソル

ではないでしょうか．もとの記事には、このことに関して以下の記述がありました．

1. 距離が方向によらない。つまり、計量は座標のみの関数で、座標の微分には依存しない。
2. 曲率はゼロではないが、捩れ（捩率）がゼロである。

一般相対論が、ミンコフスキー空間をだけではなく、リーマン幾何学と結びついた必然性のひとつは、この点にあるように思います．本記事は物理学の記事としては重要記事ですので、出過ぎたことかもしれませんが申し上げます．--Enyokoyama（会話） 2015年1月18日 (日) 12:34 (UTC)

（テンソル）＝０というのはテンソル方程式としての物理法則が持つ性質です。一般相対性理論以前の物理学においては力学の普遍主義（すべての物理学たとえば熱・統計力学、電磁気学は力学から導出されるものでなくてはなくてはならないという思想、ヒルベルトプログラムみたいなもんですというかそういう主義におそらくヒルベルトが影響を受けたんです）というものがあり、取りうるすべての座標の中からなぜか力学が成立する座標系、慣性座標系を選ばなくてはならないという縛りがありました。実際、特殊相対性理論におけるローレンツ変換も線素の条件はあるものの

ローレンツ変換 :: 慣性系　→　慣性系

という変換でなくてはなりません。それら力学至上主義に異を唱えたのがマッハであり、さらにそのマッハの思想の影響を受け、さらに発展させたのがアインシュタインです。あまり強調されませんが、一般相対性理論においては、一般座標変換という座標変換が許されます。それは

一般座標変換 :: （慣性系とはかぎらない一般座標系）　→　（慣性系とは限らない一般座標系）

というよく考えるととんでもない座標変換が可能となります。ここで、慣性系とは限らない一般座標系において物理法則はどういう形状に変換されてしまうのでしょう？単純に考えればすべての座標系において異なる方程式の形状となってしまいます。ということは、F=ma という基本的な運動方程式も座標系 A では〜という形で取り扱い座標系 B では〜〜として扱うと、すべて個別に定めて運用しなくてはならないのでしょうか？

アインシュタインがそこで持ち出してきたのが一般共変性仮定というもので、テンソル方程式で表される（物理法則も含む）自然の一般法則は座標系に依存しない形式、すなわち

（テンソル）＝０

という性質を持つものであると仮定しました。Enyokoyamaさんにはいうまでもないことですが、ある点のある座標系でテンソルが０であれば、どのように座標変換をしても（テンソル）＝０であり、テンソル方程式は座標変換に対して不変となります。というわけで、おっしゃられる（テンソル）＝０のテンソルとは一体何かといわれればなにか自然の一般法則があってその構成概念としてのテンソルです。

ガウスの曲面論の拡張としてのリーマン幾何学を一般相対性理論は必要としているだけで、時空構造が乗っかる多様体はなにかということに一般相対性理論では関心はないです（実験的に幾つか確認が取れているので物理としても問題ありません、多様体としてリーマン多様体を取ると仮定して妥当になっているわけですから）。そういうのに関心があるのは統一場理論とか場の量子論とか超ひも理論です。力を統一するために条件緩めないといけないから多様体の条件を緩めているんです。--I.hidekazu（会話） 2015年1月18日 (日) 13:43 (UTC)

I.hidekazuさん．回答の中にある「（テンソル）＝０」の説明をいただきましたが、全くの個人の見解に過ぎないように思います．本記事は物理学の記事です．

1. 一般相対論は、リーマン幾何学を「大前提として」いるわけではありませんし、「仮定」としているわけではありません．物理的事象で、さらに未知の物理事象の予言力を持っています．微分幾何学的な解釈や、曲がった時空での物理学の諸議論が後日になっていることも一応存じ上げております．リーマン幾何学が「調子のいい相手であるから大前提とした」との理解は違うのではないでしょうか．
2. リーマン曲率テンソルの記事でも関連することを申し上げておりますが、テンソル＝０の意味は一般相対論ともリーマン幾何学とも関係ない理屈に思われます．
3. 共変微分を排除した理由はなんでしょうか．

いづれにせよ、全くの個人の意見というか、一般相対論とリーマン幾何学の関係を誤っていると思われます．--Enyokoyama（会話） 2015年1月21日 (水) 08:07 (UTC)

個人の見解ではありません。そんなことを言われるとは残念です・・・。リーマン多様体をとる理由についても私は述べました。曲率テンソルについては該当のページで根拠を述べます。

リーマン幾何とその応用の『一般相対性理論の基礎（A.アインシュタイン）』の訳 pp.107-108を引用します。

つぎにテンソルと呼ばれる対象は変換の方程式がその成分に関して線形で斉次であるという事実によって特長づけられる。これから、もしすべての成分がもとの座標系に関してゼロになるならば、すべての成分は新しい座標系においてもゼロになることがわかる。したがって、もし自然の一つの法則が、一つのテンソルのすべての成分がゼロになるということで定式化されれば、これは一般共変性をもっている。したがって、テンソルを作る法則をさがせば、我々は一般共変性を持った法則を述べる方法を得る。

--I.hidekazu（会話） 2015年1月21日 (水) 15:43 (UTC)（いくつか不備を直しました。--I.hidekazu（会話） 2015年1月21日 (水) 15:45 (UTC)）

再度、I.Hidekazuさんによる編集を批判します．

再度、I.hidekazuさんの、勝手な編集に疑問をもっているので、記載させていただきます．欄が足りないので、タイトルを改めさせていただきました．

１、何故、リッチテンソルによる表示やレヴィ・チヴィタ接続に関する記載を削除されたのでしょうか．リーマン曲率テンソルの記事も同様で、I.hidekazuさんは、前の記載を駆逐する手法を使われています．「スリム化」と称して、前の記載の駆逐が目的としか思えません．I.hidekazuさんの投稿されたクリストッフェル記号には、正しくも、測地線の微分方程式とクリストッフェル記号の関係に定義で言及されております．また、リッチテンソルの話題にも触れておられます．そもそもリッチテンソルの性質をクリストッフェル記号を使って説明している部分もあります．また、レヴィ・チヴィタ接続に関係する記載もあります．そうです．リーマン曲率テンソルは、リーマン多様体の定義にある一意に選択されるレヴィ・チヴィタ接続とそれによって決まる計量テンソルとは一体のものとなります．一般相対論との関係で、記事よりそのまま引用すると、

『クリストッフェル記号はアインシュタインの一般相対論において頻繁に用いられる。一般相対論は時空を、レヴィ-チヴィタ接続を備えた、湾曲した 4-次元ローレンツ多様体によって表現する。（物体の存在によって時空の形状を決定するという）アインシュタインの場の方程式はリッチテンソルを含み、クリストッフェル記号を計算することが本質的である。一旦形状が決定されたならば、粒子と光線の軌跡は（クリストッフェル記号が陽に現れる）測地的方程式を解くことによって計算できる。』（この部分をI.hidekazuさんは記載していないでしょうが、しかし、全体を書き換えておられる以上、全面的な責任はあると考えます。）

リーマン多様体は、リーマン曲率テンソルや、曲率形式や捩率形式などの微分形式での表示、標構バンドルと呼ばれる概念、接バンドル（ベクトルバンドル）上でのレヴィ・チヴィタ接続、とクリストッフェルの記号を使った表示とは同じことを意味することとなるはずです．

２、本記事の中に記載されている（テンソル）＝０のテンソルは何を指していますか、の回答をいただけませんか．この部分はいわば、リーマン幾何学と一般相対論のことであり、物理学にかんする記事です．個人見解を求めてはいません．

３、一般共変性や共変微分に関しても、以前の記事には記載がすでにありました．しかし、駆逐されております．「一般相対論の内容」のところや歴史に関連する記述の中で、リーマン幾何学が「大前提」である、「仮定」であるとの改悪がなされています．これは全くの勝手見解です．

私は、本記事に深く関わってきておりません．しかし、非常に重要な記事でもあることから、あえて、I.hidekazuさんの既存内容の理由のない削除、個人見解のみの表示を、勝手な編集であると考えています。総じて、編集が複雑になっていますので、一旦、記事を元へ戻し、それから改善することを提案いたします．--Enyokoyama（会話） 2015年1月26日 (月) 06:51 (UTC)

１、リーマン曲率テンソルの（局所表示による）定義をご覧いただければわかるのですが、クリストッフェル記号で定義されています。レヴィ・チヴィタ接続の接続係数としてのクリストッフェル記号ということでレヴィ・チヴィタ接続が重要だという話なのかわかりませんが、一般相対性理論でそこまで接続概念を表に出す理由が無いからです。測地線の仮定については簡単に書いているのですが、詳しい説明については整理して書きます。ほとんどそのまんまですが測地線の話に解析力学（最小作用の原理）の話が絡んできます。

私は、クリストッフェル記号での局所的定義を一言も否定していません．クリストッフェル記号の基礎になっている計量は接続と同時に一意に選択されるのがリーマン幾何学ではなかったのでしょうか．前の記事が、局所表示に必ずしも依存していないということが、削除の対象と勝手に決めるのでしょうか．（今回、接続を完全に削除されたので記載）むしろ、「局所表示をすれば、、」と付け加えるのが妥当ではないでしょうか．--Enyokoyama（会話） 2015年1月27日 (火) 09:23 (UTC)

２、一般相対性原理を満たす物理法則の構成概念としてのテンソルが入ります。一番わかりやすい例はアインシュタイン方程式です。

$\left(R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R+\kappa T_{ij}\right)=0$

Einstein方程式の導出は、複数あり、作用原理の方法もあるし、局所表示の方法もあります．すでに議論済みです．リッチテンソルやリーマン曲率テンソルにより左辺が定義されていることは前の記事に書いてあり、これは真空の方程式です．右辺は物質分布で決まるとの記載もありました（これは一般相対論の不可欠で重要な点です）．むしろ、I.hidekazuさんの説明のできない（テンソル）＝０の記載が問題です．何故、前の記事の重要箇所を削除するのでしょうか．局所表示に依存した方法で説明しても、少なくとも左辺はそれほど困難ではないですよね．--Enyokoyama（会話） 2015年1月27日 (火) 09:23 (UTC)

一般共変性を持つこの方程式は任意の座標変換に対して方程式の形が変わりません。

３、伺いたいんですが、そうするとアインシュタイン空間はリーマン幾何学の対象ではないということですか？それに前もいいましたが、接続概念が出てきたのは一般相対性理論の後です。物理学で接続概念が重要なのは統一場理論、場の量子論、超ひも理論であって、一般相対性理論ではないです。一般相対性理論で出てくる共変微分はあくまでレヴィ・チヴィタ接続の条件を満たすものだけです。--I.hidekazu（会話） 2015年1月26日 (月) 14:15 (UTC)

接続の考えが後で出てきたことを削除の理由とされるのでしょうか．「歴史的には、、」と説明をいれればよいだけの話です．ここでは一般相対論とリーマン幾何学の記事の議論であり、一般相対論の共変微分はあくまでレヴィ・チヴィタ接続の条件を満たすものだけです．そうです．そのことは表現の方法は異なれど、前の記事に記載されておりました．それを何故削除するのでしょうか．局所表示に依存しない定義、リッチテンソル、接続の考え方を削除する理由がわかりません．--Enyokoyama（会話） 2015年1月27日 (火) 09:23 (UTC)

以前の記事に寄与をしたわけではありませんが、僭越ながら、ひとつづつ、反論させていただきました．また、『因果律』など一般相対論と関連する物理的な事柄も削除されています．測地線の部分以外に原型を止めなくなりましたので、一旦、戻しが妥当と考えます．--Enyokoyama（会話） 2015年1月26日 (月) 16:32 (UTC)

まず、署名もつけていない変なコメントの仕方するのやめてもらえませんか。根本的に噛み合ってないのですが、物理の記事でなぜそこまで数学的にする必要があるんですか？リーマン曲率テンソルやリッチテンソルについて書いてあったという件ですけどリンクはあるでしょう。

２、については別にアインシュタイン方程式の導出をやっているわけではないです。何度も言いますが、一般共変性についてです。座標系（x^h）から座標系（y^h）に座標変換したとすると、上のアインシュタイン方程式は

${\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial y^{l}}{\partial x^{j}}}\left({\overline {R}}_{kl}-{\frac {1}{2}}{\overline {g}}_{kl}R+\kappa {\overline {T}}_{kl}\right)=0$

となります。上のバーがあるものは新しい座標系でのテンソル。変換した分だけ係数が付いていますが右辺が０なので新しい座標系でも

$\left({\overline {R}}_{kl}-{\frac {1}{2}}{\overline {g}}_{kl}R+\kappa {\overline {T}}_{kl}\right)=0$

となる。つまり、方程式の形が変わらないという性質を持っているわけです。--I.hidekazu（会話） 2015年1月27日 (火) 14:42 (UTC)

署名の付け方については申し訳ありません．やっと、「テンソル」の答えらしい答えをいただきました．物理の記事ですので、（数学的）導出をやるのではなく、物理側の要請でリーマン幾何が（仮定、大前提ではなく）必然性を持つという記述とする必要があると思います（これは私の当初よりの主張です）．まずは、物理的要請を挙げていただくことが先です．この脈絡では（２に関しては）、

時空（$g_{i,j}$) $\equiv$ 定数　($\kappa$) × 物質 ($T_{ij}$)

ということが記載に不可欠な物理的事項と思います．これはどこへいってしまったのでしょうか．これが一般相対論の真髄です．計量テンソルの函数としての $G^{i,j}$ の共変微分が恒等的に 0 であるべきであるという物理的要請があり、それを満たすものは、リッチテンソルとスカラー曲率から定義されるアインシュタインテンソル $G^{i,j}$ が存在し一意に決まるという記述となるべきと考えています．各項目の説明はリンクをはることで解消することもありますが、この「物理側の要請から来る必然」は解消しません．他の対称性の要請も 2つビアンキ恒等式になるのですが、それも局所表示に言い換えただけになっていると考えてしまいます．（余談ながら、エネルギー運動量テンソルは、アインシュタインテンソルの項には入れないほうが一般的なように思います．アインシュタインテンソルの共変微分こそが、I.hidekazuさんの主張されている「テンソル」であるという理解です．）

１、の一般共変性も同じです．おしゃる、方程式が形が不変であるという（数学的）性質はよく存じあげているつもりです．座標変換するときには、測地線に沿って、接続の決めた計量に従うと、行列（微分形式でいうと 2-形式）の係数が（定数倍を除外して）決まります．リーマン曲率テンソルも決まります．すると方程式が（一般座標変換に対し）不変になるという（数学的）性質は承知いるつもりです．私の問うていることは、『方程式が変わらない形をしていることは（仮定や大前提ではなく）物理的要請ではないのでしょうか』ということです．数学と物理をかじったことがある程度で、しかも本記事には寄与していなく、出過ぎたことをいっていますが、、、--Enyokoyama（会話） 2015年1月27日 (火) 19:33 (UTC)

違います。アインシュタイン方程式は一つの例ですし、物質のエネルギーテンソル T_ij は右辺に移項しているんです。そもそもなんでアインシュタインテンソルの共変微分が０ということと一般共変性仮定と関係するんですか？それに単なる共変微分ではなくて発散（divergence）ではなかったですか。もう全く噛み合っていないです。

当たり前ですが、一般共変性仮定で出てくるテンソルは何か特定のテンソルを指すわけではないです。例えば、単純にリーマン幾何学の言葉で何か現象を自然の一般法則（物理現象であれば物理法則）として定式化することを考えます。記号とかは適当ですが、

$A_{ij}^{kl}+wB_{ij}^{kl}=hC_{ij}^{kl}$

と定式化したとします。これはリーマン幾何学の言葉で書かれた一般法則なので一般共変性仮定を満たさないといけません。右辺を左辺に移項すると

$A_{ij}^{kl}+wB_{ij}^{kl}-hC_{ij}^{kl}=0$

となりこれは一般共変性仮定を満たします。物理法則はすべての座標変換で変わらないというテーゼを聞いたことないんですか。その定式化が（テンソル）＝０なんですって。

リーマン幾何学であるところの必然性は線素 ds の存在です。光の経路が重力場の存在で曲がるということが始まりなので、$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ を取るためにガウス曲面論の拡張としてリーマン幾何と絶対微分学が必要とされたのです。基本計量テンソル g_{i j} は重力場を記載するので計量のある微分幾何学のリーマン幾何学でないといけないのです。

一般共変性は別に物理的要請はないです。そもそもよく承知しているんではないんですか？物理的要請を加えているのは一般相対性原理の方ですが、そっちの話ですか？

数学と物理を聞きかじっただけということで、私の問いかけのほぼ全てを無視しているのですが、一体何をしたいんですか？--I.hidekazu（会話） 2015年1月28日 (水) 15:29 (UTC)

したいことは最初から申しているように、「もとに戻して、改善しませんか」です．２については、前の記事には、（記憶が正確ではないですが、）「重力を生み出すもの」が「物質である」というような記載がありました．それがエネルギ運動量テンソルであり右辺です．これは一般相対論の記事ですので重要です．その記述を削除したのはどなたでしょうか？このことは他の重要な物理的な用語というか考え方に関しても同様です．（他の例は、因果律）１、については（テンソル）＝０を脈絡を抜きに、本記事に記載したことがますます分かりません．計量に関して今回のノート欄に記載されてます．計量は重要なことで、記載すべきと思います．が、何故、一般相対論がミンコフスキー幾何学（ローレンツ幾何学）ではなく、リーマン幾何学を求めたのでしょうか．計量のみならず、リーマン曲率テンソル、リッチテンソル、スカラー曲率などが必要であり、接続により一意にアインシュタインテンソルが決まり、このテンソルのみがアインシュタイン方程式を成り立たせるということが、リーマン幾何学を必須とした根拠と思うのです．（最後の一文は、私の個人意見ですので、ノート欄のみです．）おっしゃるとおり「重力場を記載するのは計量テンソル」ですが、それと同時に、右辺の物質（エネルギー運動量テンソル）も重力場を生み出すということが一般相対論と理解しております．「余談ながら、、、」と控えめに申し上げている部分に対しては、数学的には右辺から左辺への移項はおしゃるとおりですが（だからためらったんです）、物理的にはやはり左辺は左辺、右辺は右辺です．重要なことだと思います．私から見ると、議論は噛み合っているように思います、ただし、I.hidekazuさんの（テンソル）＝０の意味がわからないし、この記事に突然、登場するのは疑問であることをのぞいては、、、

ネストが深くなりすぎたので戻します。署名ないですよ。私は自分の編集の根拠を述べているのにそれをほぼ無視されているのに改善もなにもないです。（テンソル）＝０については何度も述べているように一般共変性仮定の定式化ですって、もう一度引用します。リーマン幾何とその応用の『一般相対性理論の基礎（A.アインシュタイン）』の訳 pp.107-108

つぎにテンソルと呼ばれる対象は変換の方程式がその成分に関して線形で斉次であるという事実によって特長づけられる。これから、もしすべての成分がもとの座標系に関してゼロになるならば、すべての成分は新しい座標系においてもゼロになることがわかる。したがって、もし自然の一つの法則が、一つのテンソルのすべての成分がゼロになるということで定式化されれば、これは一般共変性をもっている。したがって、テンソルを作る法則をさがせば、我々は一般共変性を持った法則を述べる方法を得る。

これを理解しないことには一般共変性仮定については書けないです。

接続により一意にアインシュタインテンソルが決まるというのは初耳ですが、どういう導出ですかね。アインシュタイン方程式に求められる条件は、基本計量テンソルの二次微分を含まないとか発散が０になるといった条件であっても、接続に関連した条件はなかったと思います。

物質が重力を生み出すことを記述するのはそのとおり物質のエネルギーテンソル T_{i j} ですが、重力場そのものを記述するのは g_ij です。加速している座標系をとっても重力は出てくるので。--I.hidekazu（会話） 2015年1月29日 (木) 14:25 (UTC)

最初より申し上げている、１、物理的要請が無視され、リーマン幾何学が一般相対論の「仮定」や「前提」となってしまっていること．２、「スリム化」と称して、基底独立な記法がほぼ削除されていること．の二点について聞き入れていただけないと理解いたしました．今しばらく時間をいただき、再度、議論させていただきます．署名はすみませんでした--Enyokoyama（会話） 2015年2月1日 (日) 12:54 (UTC)

ようやくなんとなくわかってきました。１、つまりリーマン幾何である必然性を書けということですね？２、については先日に大部分復活させました。--I.hidekazu（会話） 2015年2月2日 (月) 15:44 (UTC)

必然性を記載しました。リーマン多様体である必然性は重力場（重力場は基本計量テンソルで記述される）のある空間を光が通過すると光が曲がる（距離が伸びる）、すなわち、線素の大きさについて

$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$

が成り立つと仮定されるからです。物理的要請として接続は本当に関係ないです。本文の記載の方が不十分と思われるかもしれませんが、前後の文脈とか訂正するのが大変なので、時間があるときにもう少し本文の方の記載も詳しくします。--I.hidekazu（会話） 2015年2月2日 (月) 16:19 (UTC)