スレーターの条件

数学において、スレーターの条件（スレーターのじょうけん、英: Slater's condition）とは、凸最適化に対して強双対性が成立するための十分条件である。モートン・L・スレーターの名にちなむ。スレーターの条件では、実行可能領域は必ず内点を持つ（下記の技術的な詳細を参照）ということが述べられている。

スレーターの条件は、制約想定の特別な例の一つである。特に、主問題に対してスレーターの条件が成立するなら、双対性のギャップは 0 であり、双対値が有限であるなら、それは達成される。

詳細

凸函数 $f_{0},\ldots ,f_{m}$ に対する問題

${\text{Minimize }}\;f_{0}(x)$

${\text{subject to: }}\$

$f_{i}(x)\leq 0,i=1,\ldots ,m$

$Ax=b$

を考える（したがって、凸最適化問題である）。このときスレーターの条件は、ある $x\in \operatorname {relint} (D)$ に対して

$f_{i}(x)<0,i=1,\ldots ,m$ and

$Ax=b.\,$

が成立するなら、強双対性が成立することを意味する（ここで、relint は相対的内部であり、$D=\cap _{i=0}^{m}\operatorname {dom} (f_{i})$ である）。初めの $k$ 個の制限 $f_{1},\ldots ,f_{k}$ が線型函数であるとき、次を満たす $x\in \operatorname {relint} (D)$ が存在するなら、強双対性は成立する。

$f_{i}(x)\leq 0,i=1,\ldots ,k,$

$f_{i}(x)<0,i=k+1,\ldots ,m,$ and

$Ax=b.\,$

一般化不等式

$f_{0}$ は凸で、各 $i$ に対して $f_{i}$ が $K_{i}$-凸であるような問題

${\text{Minimize }}\;f_{0}(x)$

${\text{subject to: }}\$

$f_{i}(x)\leq _{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m$

$Ax=b$

を考える。このときスレーターの条件は、次を満たす $x\in \operatorname {relint} (D)$ が存在するなら、強双対性が成立することを意味する：

$f_{i}(x)<_{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m$ and

$Ax=b$