クレローの方程式
クレローの方程式(クレローのほうていしき、Clairaut's equation)とは、次の形の微分方程式である。
この方程式の名はアレクシス・クレローにちなんだものである。また、次の一階偏微分方程式もクレローの方程式と呼ばれる。
解法
[編集]常微分方程式
[編集]を解くには、まず両辺を x について微分する。
整理して
を得る。これより、
であるか、または
である。前者の場合、ある定数 C があって C = dy/dx となる。これを元の方程式に代入すると、
という関数の族が得られる。これをクレローの方程式の一般解という。
後者の場合、
という式からはただひとつの解 y(x) しか得られず、これを特異解と呼ぶ。特異解のグラフは一般解のグラフの包絡線になっている。
偏微分方程式
[編集]クレローの一階偏微分方程式
- u = xux + yuy + f(ux,uy)
は、シャルピの解法により解ける。
- p = ux、q = uy、F(x,y,u,p,q) = u - xp - yq - f(p,q)
とおけば、同方程式は F(x,y,u,ux,uy)=0 である。
- Fx = -p、Fy = - q、Fu = 1
- Fp = -x - fp、Fq = -y - fq
だから、補助方程式は、
である。 後二式は dp = dq = 0 の意味だから、ux = a、uy = b とおくと、
- u = ax + by + f(a,b) … (1)
である。 よって、a、b を積分定数と解すれば、(1) が完全解となる。
完全解の平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は特異解を与える。 実際、(1) を a、b で偏微分した関係式
- x + fa(a,b) = y + fb(a,b) = 0
と (1) から a、b を消去できる場合には、解が得られる。
また、任意関数 g により、完全解の平面族の積分定数に関係 b = g(a) を与えたとき、その平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は一般解を与える。 実際、(1) に b = g(a) を代入した式を a で微分した関係式
- x + g’(a)y + fa(a,g(a)) + fb(a,g(a))g’(a) = 0
と (1) から a を消去できる場合には、解が得られる。
外部リンク
[編集]- Weisstein, Eric W. "Clairaut's Differential Equation". mathworld.wolfram.com (英語).