クラマース＝ワニア双対性

クラマース＝ワニア双対性(Kramers–Wannier duality)は、統計力学での対称性である。クラマース＝ワニア双対性は、低温での2次元の正方格子イジングモデル（英語版）(square-lattice Ising model)の自由エネルギー(free energy)を、高温の別なイジングモデルの自由エネルギーとを関連付ける双対性である。この双対性はヘンリク・クラマース(Hendrik Kramers)とグレゴリー・ワニア（英語版）(Gregory Wannier)により1941年に発見された。この双対性を用いて、クラマースとワニアは、正方格子イジングモデルの臨界点の正確な位置を見つけた。

同様な双対性は、他の統計モデルの自由エネルギーの間の関係も確立している。例えば、3次元ではイジングモデルはあるゲージイジングモデルの双対である。

直感的な考え方

2次元イジングモデルは格子（チェスボード状の正方形の集まり）上で定義される。有限格子では、辺はトーラスを形成するように結合できる。この種類の理論では、対合を構成することができる。例えば、ラルス・オンサーガー(Lars Onsager)は、Y-Δ変換が三角格子に使えるのではないかと提唱した^[1]。さて、離散的なトーラスの双対は自己自身である。さらに、非常に非秩序な（高温度）系の双対は、非常に秩序のある（低温度）系である。これは、フーリエ変換が大きな帯域幅をもつ（標準偏差が大きい）信号を帯域幅の小さな(標準偏差の小さい)信号にするためである。従って、逆温度を持つ本質的に同じ理論であることがわかる。

一方の理論の温度を上げると、もう一方の理論は温度が下る。相転移が一つしかない場合、相転移は交叉する点、すなわち双方の系の温度が等しくなる点で起こる。2次元イジングモデルは無秩序状態から秩序状態へ移るので、無秩序相と秩序相の間には一対一写像に近い写像が存在する。

理論は一般化され、現在では、様々な考え方が融合している。例えば、四角形格子は円^[2]、ランダム格子^[3]、非等質トーラス^[4]、三角格子^[5]、 labyrinth^[6]、ツイストした境界を持つ格子^[7]、カイラルポッツモデル^[8]など、様々なものに置き換えられる。

導出

これらの変数を定義する。

$(K^{*},L^{*})$ での低温展開は、

Z_{N}(K^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}(e^{-2L^{*}})^{r}(e^{-2K^{*}})^{s}

である。

\tanh K=e^{-2L*},\ \tanh L=e^{-2K*}

により、

Z_{N}(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r}w^{s}

=2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)

である。ここに、 $v=\tanh K$ であり、 $w=\tanh L$ である。このことから、高温展開との関係がわかる。関係はより対称性が明確となるように、

\,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1

\,\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1

と記述することができる。サイトあたりの自由エネルギーの熱力学的極限(thermodynamic limit)

f(K,L)=\lim _{N\rightarrow \infty }f_{N}(K,L)=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}(K,L)

を用いると、クラマース＝ワニアの双対性は、

f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+{\frac {1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)

を与える。

$K=L$ である等方的な場合は、 $K=K_{c}$ に臨界点があるとすれば、 $K=K_{c}^{*}$ にも別な臨界点がある。従って、唯一の臨界点がある場合は、 $K=K^{*}=K_{c}^{*}$ のみに臨界点があることとなり、これは $\sinh 2K_{c}=1$ を意味し、 $kT_{c}=2.2692J$ を得る。

参考文献

^ Somendra M. Bhattacharjee, and Avinash Khare, Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model by Onsager (1995), arxiv:cond-mat/9511003
^ arXiv:cond-mat/9805301, Self-dual property of the Potts model in one dimension, F. Y. Wu
^ arXiv:hep-lat/0110063, Dirac operator and Ising model on a compact 2D random lattice, L.Bogacz, Z.Burda, J.Jurkiewicz, A.Krzywicki, C.Petersen, B.Petersson
^ arXiv:hep-th/9703037, Duality of the 2D Nonhomogeneous Ising Model on the Torus, A.I. Bugrij, V.N. Shadura
^ arXiv:cond-mat/0402420, Selfduality for coupled Potts models on the triangular lattice, Jean-Francois Richard, Jesper Lykke Jacobsen, Marco Picco
^ arXiv:solv-int/9902009, A critical Ising model on the Labyrinth, M. Baake, U. Grimm, R. J. Baxter
^ arXiv:hep-th/0209048, Duality and conformal twisted boundaries in the Ising model, Uwe Grimm
^ arXiv:0905.1924, Duality and Symmetry in Chiral Potts Model, Shi-shyr Roan

外部リンク

H. A. Kramers and G. H. Wannier (1941). “Statistics of the two-dimensional ferromagnet”. Physical Review 60: 252–262. Bibcode: 1941PhRv...60..252K. doi:10.1103/PhysRev.60.252.
J. B. Kogut (1979). “An introduction to lattice gauge theory and spin systems”. Reviews of Modern Physics 51: 659–713. Bibcode: 1979RvMP...51..659K. doi:10.1103/RevModPhys.51.659.

[1] Somendra M. Bhattacharjee, and Avinash Khare, Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model by Onsager (1995), arxiv:cond-mat/9511003

[2] rXiv:cond-mat/9805301, Self-dual property of the Potts model in one dimension, F. Y. Wu

[3] rXiv:hep-lat/0110063, Dirac operator and Ising model on a compact 2D random lattice, L.Bogacz, Z.Burda, J.Jurkiewicz, A.Krzywicki, C.Petersen, B.Petersson

[4] rXiv:hep-th/9703037, Duality of the 2D Nonhomogeneous Ising Model on the Torus, A.I. Bugrij, V.N. Shadura

[5] rXiv:cond-mat/0402420, Selfduality for coupled Potts models on the triangular lattice, Jean-Francois Richard, Jesper Lykke Jacobsen, Marco Picco

[6] rXiv:solv-int/9902009, A critical Ising model on the Labyrinth, M. Baake, U. Grimm, R. J. Baxter

[7] rXiv:hep-th/0209048, Duality and conformal twisted boundaries in the Ising model, Uwe Grimm

[8] rXiv:0905.1924, Duality and Symmetry in Chiral Potts Model, Shi-shyr Roan

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直感的な考え方

導出

関連項目

参考文献

外部リンク