イジング模型

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	表; 話; 編; 歴;

統計力学においてイジング模型（イジングもけい、英: Ising model、イジングモデルとも言う）とは、二つの配位状態をとる格子点から構成され、最隣接する格子点のみの相互作用を考慮する格子模型である。二つの配位状態をスピンだとみなして強磁性体のモデルとして解釈されることが多いが、二元合金、格子気体のモデルとしても用いられる。

スピン系のモデルとしては非常に単純化されたモデルであるが、相転移現象を記述可能なモデルであり、多くの物理学者によって研究されてきた^[1]。単純なモデルであるため厳密な解析が可能であり、特に外部磁場の無い二次元イジング模型は厳密解が得られる可解格子模型の一種である。

イジング模型は1920年にドイツの物理学者ヴィルヘルム・レンツ（英語版）によって提案された^[2]。イジング模型という名前はレンツの博士課程の指導学生でありこの模型の研究を行っていたエルンスト・イジングに因んでいる^[3]。1944年にラルス・オンサーガーによって与えられた二次元イジング模型の厳密解は統計力学における金字塔の一つとされる^[4]。

概要

磁性体のモデルとして、 $d$ -次元空間の格子点に上向きと下向きの2状態をとるスピンが配置された格子模型を考える。 $σ i =\pm1$ を $i$ 番目の格子点におけるスピンの状態を示す変数とし、 $+1$ が上向きのスピン、 $-1$ が下向きのスピンに対応するものとする。格子点の総数は $N$ 個とし、一つの格子点に最近接する格子点の数を $z$ 個とする。例えば、１次元格子では $z =2$ 、2次元正方格子では $z =4$ 、3次元正方格子では $z =6$ である。

$J ij$ を２つの格子点 $i, j$ 間における交換相互作用、 $h i$ は格子点 $i$ における外部磁場とする。このとき、イジング模型のハミルトニアンは次式で与えられる^{[注 1]}。

{\mathcal {H}}=-\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }J_{ij}\,\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-\sum _{i}h_{i}\,\sigma _{i}

第1項目は最近接する格子点におけるスピン間の相互作用のエネルギーを表す。記号 $⟨ i, j ⟩$ は最近接する格子点のペアについての和であることを意味し、 $⟨ i,j ⟩$ の和は $zN /2$ 個の項の和になる。 $J ij >0$ の場合を強磁性相互作用、 $J ij <0$ の場合を反強磁性相互作用という。強磁性相互作用では最近接する格子点 $i,j$ のスピンのペアが同じ向きに揃い、 $σ i \cdotσ j =+1$ となるとエネルギーは $J ij$ だけ下がる。そのため、エネルギーが最も低い基底状態は全てのスピンの向きが揃った状態となる。一方、反強磁性相互作用では最近接する格子点のスピンのペアが異なる向きをとり、 $σ i \cdotσ j =-1$ となるとエネルギーは $| J ij |$ だけ下がる。第2項目は外部磁場に対するエネルギーを表す。格子点 $i$ において、スピンの向き（符号）が外部磁場の向き（符号）と揃うと、エネルギーは $| h i |$ だけ下がる。

特に格子点上で交換相互作用と外部磁場を一定値とする一様なケースでは、イジング模型のハミルトニアンは

{\mathcal {H}}=-J\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-h\sum _{i}\sigma _{i}

となる。

統計力学において、温度 $T$ の平衡状態での系の熱力学的な性質は分配関数 $Z$ から求まる。分配関数は系の取りうる全ての状態についてのボルツマン因子 $e - βH$ の足し合わせで与えられる。 $N$ 個の格子点をもつイジング模型においては、格子点のスピン変数が $σ =\pm1$ の値をとる $2 N$ 個の状態が存在し、分配関数は

{\begin{aligned}Z(\beta ,N)&=\sum _{\sigma _{1}=\pm 1}\cdots \sum _{\sigma _{N}=\pm 1}e^{-\beta {\mathcal {H}}}\\&=\sum _{\sigma _{1}=\pm 1}\cdots \sum _{\sigma _{N}=\pm 1}\exp {\biggl (}\beta \sum _{\left\langle i,j\right\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}+\beta \sum _{i}h_{i}\sigma _{i}{\biggr )}\end{aligned}}

となる。

一般に相互作用を含むモデルでは分配関数を求めることは困難であるが、交換相互作用と外部磁場を一様とする設定において、イジング模型では1次元のケース、外部磁場のない2次元のケースについては、厳密に分配関数を求めることが可能である。

エルンスト・イジングによる解析の段階で、一次元系での厳密な解は求められていて、有限温度での相転移を起こさないことが示されていた。その後、1944年にラルス・オンサーガーが二次元イジング模型の厳密解を求めた。これは相転移を起こし、この結果は相転移現象の記述と理解のために大変重要な役割を果たしている。オンサーガーの方法以外にも外部磁場のない二次元イジング模型の厳密解を求める方法がいくつか知られている。しかし、外部磁場のある場合の厳密解は得られていない。

三次元イジング模型の厳密解は知られていないが、共形ブートストラップを用いて解析的に臨界指数を求める試みがなされている^[5] ^[6]。

厳密解以外にも平均場近似や繰り込み群、級数展開（低温展開、高温展開）の手法などによる近似解が知られている。と、これらを用いた数値計算手段を使って近似的に解かれる。

この模型は、結晶表面のラフニング転移や合金の規則‐不規則（秩序‐無秩序）転移、異方性の大きな磁性の問題などに応用されている。

1次元モデル

相互作用の減衰が α > 1 で $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ であれば、熱力学的極限が存在する^[7]。

1 < α < 2 で強磁性の相互作用 $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ の場合について、ダイソン(Dyson)は階層を比較することにより充分小さな温度で相転移があることを証明した^[8]。

強磁性の相互作用 $J_{ij}\sim |i-j|^{-2}$ の場合について、フレーリッヒ(Fröhlich)とスペンサー(Spencer)は（階層の場合と対照的に）充分小さな温度で相転移があることを示した^[9]。

α > 2 の相互作用 $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ の場合（このことは有限の範囲の相互作用を意味する）においては、自由エネルギー(free energy)が熱力学パラメータに対して解析的であるので、正の温度（有限の β）に対して相転移がない^[7]。

近接相互作用の場合についてはイジング(E. Ising)がモデルの完全解を示した。任意の正の温度（有限の β）で、自由エネルギーは熱力学的パラメータの中で解析的であり、省略された 2点相関函数は指数的に急速に減少する。温度 0 （β が無限大）では、第二種の相転移がある。自由エネルギーは無限大となり、領略された 2点スピンの相関函数は減少しない（定数のままである）。従って、T = 0 はこの場合の臨界温度であり、スケーリング公式を満す^[10]。

イジングによる完全解

（周期的境界条件、または、自由境界条件）近接相互作用の場合、完全解が存在する。周期境界条件を持つ格子 L の上の1次元イジングモデルのエネルギーは、

{\mathcal {H}}(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i}

である。ここに J と h は、この単純化された場合には J は定数で近隣間の相互作用の強さを表し、h は格子に適用された定数の外場であるので、任意の数値で問題ない。従って、自由エネルギーは、

{\begin{aligned}f(\beta ,h)&=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln(Z(\beta ))\\&=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right)\end{aligned}}

であり、スピン-スピン相関函数は、

\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}

である。ここに C(β) と c(β) は T > 0 の正の値の函数である。しかし、T → 0 とすると、逆の相関の長さ c(β) は 0 となる。

脚注

出典

^ Stephen G. Brush, Rev. Mod. Phys., 39, p.883 (1967)
^ W. Lenz, "Beiträge zum Verständnis der magnetischen Eigenschaften in festen Körpern", Phys. ZS., 21, p. 613 (1920)
^ E. Ising, "Beitrag zur theorie des ferromagnetismus," Z. Physik, 31, p. 253 (1925)
^ Somendra M. Bhattacharjee et al., Curr.Sci., 69 p. 816 (1995)
^ Sheer El-Showk et al., Rhys.Rev.D 86, 025022 (2012)
^ Sheer El-Showk et al., J. Stat. Phys. 157, p. 869-914 (2014)
^ ^a ^b Ruelle (1969). Statistical Mechanics:Rigorous Results.. New York: W.A. Benjamin Inc.
^ Dyson, F.J. (1969). “Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet”. Comm. Math. Phys. 12: 91–107. Bibcode: 1969CMaPh..12...91D. doi:10.1007/BF01645907.
^ Fröhlich, J.; Spencer, T. (1982). “The phase transition in the one-dimensional Ising model with 1/r 2 interaction energy.”. Comm. Math. Phys. 84: 87–101. doi:10.1007/BF01208373.
^ Baxter, Rodney J. (1982), Exactly solved models in statistical mechanics*, London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR690578

注

^ 行列要素 $~ J ij$ が格子点 $i, j$ が最近接するときのみに $J ij$ の値をとり、それ以外は $0$ とすると、ハミルトニアンは
${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\tilde {J}}_{ij}\,\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}-\sum _{i=1}^{N}h_{i}\sigma _{i}$

とも表せる。

参考文献

Lars Onsager: "Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition", Phys. Rev. Vol.65, pp.117-149 (1944).
Stephen G. Brush, "History of Lentz-Ising Model," Rev. Mod. Phys., 39, p.883 (1967) doi:10.1103/RevModPhys.39.883
Somendra M. Bhattacharjee, Avinash Khare, "Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model by Onsager," Curr.Sci., 69, p. 816 (1995) arXiv:cond-mat/9511003
Martin Niss, "History of the Lenz-Ising Model 1920–1950: From Ferromagnetic to Cooperative Phenomena," Arch. Hist. Exact Sci., 59, p. 267 doi:10.1007/s00407-004-0088-3
小口武彦『磁性体の統計理論』裳華房 (1970) ISBN 978-4785323127
I. A. Stepanov. Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models. – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118 - 122. The paper is on the Journal’s website with a free access.

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概要

1次元モデル

イジングによる完全解

脚注

出典

注

参考文献

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