カルノーの定理 (円錐曲線)

円錐曲線と辺の6つの交点

カルノーの定理（かるのーのていり、英語: Carnot's theorem,Carnot theorem）とは、ラザール・カルノーにちなんで名付けられた定理の一つである。

定理

カルノーの定理 ― 三角形ABC について、AB上の点C_a,C_b、BC上の点A_b,A_c、CA上の点B_c,B_aの六点が同一円錐曲線上にあることと、以下の式が成り立つことは同値である：

$${\frac {|AC_{A}|}{|BC_{A}|}}\cdot {\frac {|AC_{B}|}{|BC_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{B}|}{|CA_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{C}|}{|CA_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{C}|}{|AB_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{A}|}{|AB_{A}|}}=1.$$

関連する定理

• A_b,A_c,B_c,B_a,C_a,C_bが同一円錐曲線上にあるならば、AA_b,AA_c,BB_c,BB_a,CC_a,CC_bに接する円錐曲線が存在する（ブラッドリーの定理、Bradley’s theorem）。
• B_aC_a,C_bA_b,A_c,B_cとBC,CA,ABの交点は共線である（パスカルの定理）。
• 一般に、m個の点P₁,P₂,P₃,...,P_mについて、それぞれ直線P_iP_i+1上のn個の点A_i1,A_i2,...,A_in、計mn個の点がn次の線上にあるとき、以下の式が成り立つ。

$\prod _{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}{\dfrac {P_{i}A_{ij}}{A_{ij}P_{i+1}}}=(-1)^{mn}$

ただしP_m+1=P₁である。m=3としてn=1,2のとき、それぞれメネラウスの定理、カルノーの定理である。また2<nの場合逆は成立しない。

関連項目

• 内接円錐曲線
• チェバの定理
• チェバ三角形
• 垂足円
• テルケムの定理
• ケイリー＝バッハラッハの定理

参考文献

• Huub P.M. van Kempen: On Some Theorems of Poncelet and Carnot. Forum Geometricorum, Volume 6 (2006), pp. 229–234.
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, pp. 40, 168–173 (ドイツ語)
• ジャン・ヴィクトル・ポンスレ: Traité des propriétés projectives des figures.Paris Gauthier-Villars, Vol 1 (1865), pp. 18, （フランス語）
• P. S. Modenov: Problems In Geometry. (1981), pp. 77
• Gabor Gevay: Point-Ellipse And Some Other Exotic Configurations.
• Michael Perez Palapa ,Kai Williams: Non-Euclidean Cross-Ratios and Carnot’s Theorem for Conics. (2024)
• ÐorđeBaralić: Around the Carnot theorem.
• Ruben Vigara: Non-euclidean shadows of classical projective theorems. (2015)

外部リンク

• Carnot's theorem EucliDraw
• Carnot's Theorem for Conics at cut-the-knot.org
• Carnot theorem Encyclopedia of mathmatics