カルノーの定理 (円錐曲線)

円錐曲線と辺の6つの交点

カルノーの定理（かるのーのていり、英語: Carnot's theorem, Carnot theorem）とは、ラザール・カルノーにちなんで名付けられた定理の一つである。

定理

カルノーの定理 ― 三角形ABC について、AB上の点C_a,C_b、BC上の点A_b,A_c、CA上の点B_c,B_aの六点が同一円錐曲線上にあることと、以下の式が成り立つことは同値である：

$${\frac {|AC_{A}|}{|BC_{A}|}}\cdot {\frac {|AC_{B}|}{|BC_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{B}|}{|CA_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{C}|}{|CA_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{C}|}{|AB_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{A}|}{|AB_{A}|}}=1.$$

関連する定理

• A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_bが同一円錐曲線上にあるならば、AA_b, AA_c, BB_c, BB_a, CC_a, CC_bに接する円錐曲線が存在する（ブラッドリーの定理、Bradley’s theorem）。
• それぞれB_aC_a, C_bA_b, A_c,B_cとBC, CA, ABの交点は共線である（パスカルの定理）。
• 一般に、m個の点P₁, P₂, P₃, ..., P_mについて、それぞれ直線P_iP_i+1上のn個の点A_i1, A_i2, ..., A_in、計mn個の点がn次の線上にあるとき、以下の式が成り立つ。

$\prod _{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}{\dfrac {P_{i}A_{ij}}{A_{ij}P_{i+1}}}=(-1)^{mn}$

ただしP_m+1 = P₁である。2 < nの場合、逆は成立しない。m = 3としてn = 1, 2のとき、それぞれメネラウスの定理、カルノーの定理である。

他に、ユークリッド空間へ拡張したものもある。

参考文献

• Huub P.M. van Kempen: On Some Theorems of Poncelet and Carnot. Forum Geometricorum, Volume 6 (2006), pp. 229–234.
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, pp. 40, 168–173 (ドイツ語)
• J. V. Poncelet: Traité des propriétés projectives des figures.Paris Gauthier-Villars, Vol 1 (1865), pp. 18, （フランス語）
• P. S. Modenov: Problems In Geometry. (1981), pp. 77
• Gabor Gevay: Point-Ellipse And Some Other Exotic Configurations.
• Michael Perez Palapa ,Kai Williams: Non-Euclidean Cross-Ratios and Carnot’s Theorem for Conics. (2024)
• ÐorđeBaralić: Around the Carnot theorem.
• Ruben Vigara: Non-euclidean shadows of classical projective theorems. (2015)
• Jean-Denis Eiden (2009). Géométrie analytique classique. Calvage & Mounet. ISBN 978-2-916352-08-4 

関連項目

• 内接円錐曲線
• チェバの定理
• チェバ三角形
• 垂足円
• テルケムの定理
• ケイリー＝バッハラッハの定理

外部リンク

• Carnot's theorem EucliDraw
• Carnot's Theorem for Conics at cut-the-knot.org
• Carnot theorem Encyclopedia of mathmatics