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理論物理学において、BPS状態 (BPS states)は、超対称な中心電荷 Z に等しい質量を持つ拡大超対称性 (英語版 ) (extended supersymmetry)の質量表現である。量子力学では、超対称性が破れない場合、質量がちょうど Z の絶対値に等しい。この重要性は、多重項が生成時の質量表現よりも短くなることにあり、状態は安定で、質量公式は完全になる。
超代数 (英語版 ) (superalgebra)の奇の部分の生成子は、次の関係式を持つ[ 1] 。
{
Q
α
A
,
Q
¯
β
˙
B
}
=
2
σ
α
β
˙
m
P
m
δ
B
A
{
Q
α
A
,
Q
β
B
}
=
2
ϵ
α
β
ϵ
A
B
Z
¯
{
Q
¯
α
˙
A
,
Q
¯
β
˙
B
}
=
−
2
ϵ
α
˙
β
˙
ϵ
A
B
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}\{Q_{\alpha }^{A},{\bar {Q}}_{{\dot {\beta }}B}\}&=2\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{m}P_{m}\delta _{B}^{A}\\\{Q_{\alpha }^{A},Q_{\beta }^{B}\}&=2\epsilon _{\alpha \beta }\epsilon ^{AB}{\bar {Z}}\\\{{\bar {Q}}_{{\dot {\alpha }}A},{\bar {Q}}_{{\dot {\beta }}B}\}&=-2\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\epsilon _{AB}Z\\\end{aligned}}}
ここに、:
α
β
˙
{\displaystyle \alpha {\dot {\beta }}}
はローレンツ群のインデックスで、A, B は R-対称なインデックスである。
上の生成子の線型結合を次のように取る。
R
α
A
=
ξ
−
1
Q
α
A
+
ξ
σ
α
β
˙
0
Q
¯
β
˙
B
T
α
A
=
ξ
−
1
Q
α
A
−
ξ
σ
α
β
˙
0
Q
¯
β
˙
B
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\alpha }^{A}&=\xi ^{-1}Q_{\alpha }^{A}+\xi \sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{0}{\bar {Q}}^{{\dot {\beta }}B}\\T_{\alpha }^{A}&=\xi ^{-1}Q_{\alpha }^{A}-\xi \sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{0}{\bar {Q}}^{{\dot {\beta }}B}\\\end{aligned}}}
4つの運動量
(
M
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle (M,0,0,0)}
を持つ状態 ψ を考える。次の作用素をこの状態へ適用すると、
(
R
1
1
+
(
R
1
1
)
†
)
2
ψ
=
4
(
M
+
R
e
(
Z
ξ
2
)
)
ψ
{\displaystyle {\begin{aligned}(R_{1}^{1}+(R_{1}^{1})^{\dagger })^{2}\psi &=4(M+Re(Z\xi ^{2}))\psi \\\end{aligned}}}
を得る。
しかし、これはエルミート作用素の平方であるので、右辺の係数は、すべての
ξ
{\displaystyle \xi }
に対し、正である必要がある。
特に、このことから導かれる最も強い結果は、
M
≥
|
Z
|
{\displaystyle {\begin{aligned}M\geq |Z|\\\end{aligned}}}
である。
超対称性を持つブラックホールのエントロピーSupersymmetric black hole entropies[ 2]
BPS境界 (英語版 ) (Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound)
短超多重項 (英語版 ) (short supermultiplet)