BFモデル

BFモデル(BF model)は、位相的場の理論であり、量子化したとき、位相的量子場の理論となる。BFモデルは背景場(background field)を基礎としている。B と F は、以下でみるように、理論のラグランジアンに現れる変数でもあり、記号的な使い方も有用である。

M は 4-次元微分可能多様体、G はゲージ群であり「力学的」場である 2-形式 B として G のリー群の随伴表現に値を持ち、A は G の接続形式である。

作用は、

$S=\int _{M}K[\mathbf {B} \wedge \mathbf {F} ]$

により与えられる。ここに K は ${\mathfrak {g}}$ 上の不変非退化双線型形式（G が半単純であればキリング形式はこれを満たす）であり、Fは曲率形式

$\mathbf {F} \equiv d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

である。

この作用は、微分同相不変であり、ゲージ不変である。作用のオイラー＝ラグランジュ方程式は、

$\mathbf {F} =0$ (曲率が 0 )

と

$d_{\mathbf {A} }B=0$ (B の共変外微分(covariant exterior derivative)が 0 )

である。

実際、任意の局所自由度をゲージ化することは常に可能であり、このことが位相的場の理論と呼ばれる理由である。

しかしながら、M が位相的に非自明であれば、A と B が大域的に非自明な解を持つことも可能である。

関連項目

• スピンフォアム(Spin foam)
• 背景場の方法(Background field method)

外部リンク

• https://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2000/qg2.2.html