ノイベルグ三次曲線

ユークリッド幾何学において、ノイベルグ三次曲線（ノイベルクさんじきょくせん、英: Neuberg cubic）とは三角形に対して一意に決まる曲線の一種である。ヨーゼフ・ノイベルグにちなんで名付けられた^[1]^[2]。21点3次曲線、あるいは37点3次曲線とも呼ばれる。Bernard Gibert のCubics in the triangle planeでは K001 として登録されている^[1]。

定義

$△ ABC$ のノイベルグ三次曲線上の点をBC,CA,ABで鏡映した点をそれぞれA,B,Cと結ぶとその3直線は1点で交わる。

ノイベルグ三次曲線は様々な定義ができる。その一つは $△ ABC$ について、それぞれの辺で $P$ を鏡映した点を $P a, P b, P c$ で表したときに、 $AP a, BP b, CP c$ が一点で交わるような $P$ の軌跡である。他には、 $△ BPC, △ CPA, △ APB$ の外心を $O a, O b, O c$ とし、 $AO a, BO b, CO c$ が一点で交わるような $P$ の軌跡とも定義される。しかし、このように定義された軌跡が本当に三次曲線であるかは自明ではない。

ノイベルグは以下の式を満たす点の軌跡を定義とした。

{\begin{vmatrix}1&BC^{2}+AP^{2}&BC^{2}\times AP^{2}\\1&CA^{2}+BP^{2}&CA^{2}\times BP^{2}\\1&AB^{2}+CP^{2}&AB^{2}\times CP^{2}\end{vmatrix}}=0

B. H. Brown は1925年の論文で、「Pとその等角共役点を通る直線がオイラー線と平行になる点Pの軌跡」と定義している^[3]。

重心座標

$△ ABC$ の辺を $a, b, c$ とする。ノイベルグ三次曲線上の点は重心座標を $x : y : z$ として以下の等式を満たす。

\sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0

ノイベルグ三次曲線上の有名な点

古い文献では、ノイベルグ三次曲線は一般に21点三次曲線と呼ばれている。これはノイベルグ自身が以下の21個の点をこの曲線上に発見したことによる ^[3]。

頂点 $A, B, C$
$A, B, C$ を対辺で鏡映した点 $A a, B b, C c$
垂心 $H$
外心 $O$
それぞれ $AB$ , $AC$ の垂直二等分線と $AC$ , $AB$ の交点を $Q bc$ , $Q cb$ とし、直線 $Q bc$ $Q cb$ でAを鏡映させた点 $D a$ (B,Cについても同様にして $D a, D b, D c$ )。
$△ ABC$ の辺を一辺とする、正三角形の $A, B, C$ でない頂点 $A', B', C', A'', B'', C''$ 。
第一フェルマー点X(13)と第二フェルマー点X(14)
第一等力点X(15)と第二等力点X(16)

1925年の B. H. Brown の論文では、新たに16個の有名点がノイベルグ三次曲線上にあることが発見された（これが37点3次曲線と言われる所以である）^[4]。この16点のうち4つは、この三角形の内心と傍心である^[3]。

その後、ノイベルグ三次曲線上に見つかった点には以下のようなものがある^[1]。

オイラー無限遠点
ジェラベク双曲線と外接円の第四交点X(74)
正三角形となるチェバ三角形と元の三角形の配景の中心X(370)
パリー鏡映点X(399)
ヴェルナウ点X(1337),X(1338)

性質

虚円点を通る3次曲線は「circular cubic」と呼ばれるが、ノイベルグ三次曲線はcircular cubicである。
点Pとその等角共役点と、ある点Xが共点であるようなPの軌跡はXの「pivotal isogonal cubic」と呼ばれるが、ノイベルグ三次曲線はオイラー無限遠点のpivotal isogonal cubicである。
三角形ABCと点PについてAPのPを通る垂線とBCの交点、BPのPを通る垂線とCAの交点、CPのPを通る垂線と、ABの交点は共線で、その線の三線極をP*とする。P,P*,Xが共線であるようなPの軌跡はXの「pivotol orthocubic」または「orthopivotal cubic」と呼ばれるが、ノイベルグ三次曲線は外心のorthopivotal cubic である^[1]。

外部リンク

Zvonko Čerin (1998). “Locus properties of the Neuberg cubic”. Journal of Geometry 63 (1–2): 39–56. doi:10.1007/BF01221237 30 November 2021閲覧。.
T. W. Moore and J. H. Neelley (May 1925). “The Circular Cubic on Twenty-One Points of a Triangle”. The American Mathematical Monthly 32 (5): 241–246. doi:10.1080/00029890.1925.11986451. JSTOR 2299192. https://www.jstor.org/stable/2299192 2 December 2021閲覧。.
Abdikadir Altintas, On Some Properties Of Neuberg Cubic
Bernard Gilbert. “Neuberg Cubics”. Cubics in the Triangle Plane. 2 December 2021閲覧。

定義

重心座標

ノイベルグ三次曲線上の有名な点

性質

外部リンク

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