開立法

開立法（かいりつほう、かいりゅうほう、extraction of cubic root）は、正の実数の立方根の小数による近似値を求める方法の1つである。開立とも。立方根を求めることを開立するという。開法の一種。

立方九九

開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。

表：立方九九

計算	暗唱方法
$1^{3}=1$	いんいちがいち
$2^{3}=8$	ににんがはち
$3^{3}=27$	さざんにじゅうしち
$4^{3}=64$	ししろくじゅうし
$5^{3}=125$	ごごひゃくにじゅうご
$6^{3}=216$	ろくろくにひゃくじゅうろく
$7^{3}=343$	しちしちさんびゃくしじゅうさん
$8^{3}=512$	はっぱごひゃくじゅうに
$9^{3}=729$	くくななひゃくにじゅうく

近似計算法

計算式（1）

開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

ここで、$a\gg b$とすると、

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b$

$b={\frac {(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}}$

である。両辺にaを加えて、

$a+b=a+{\frac {(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}}}$

となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の$(a+b)^{3}$を与えられた数として扱う。ただし、$a^{3}$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

計算式（2）

また、

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

を用いて、$a\gg b$として、

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b$

$b={\frac {a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}}$

である。したがって、

$a-b=a-{\frac {a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}}$

この式の左辺を近似立方根、右辺の$(a-b)^{3}$を与えられた数として扱う。ただし、$a^{3}$は与えられた数に最も近い完全立方数である。

近似計算法を用いた計算例

${\sqrt[{3}]{1361}}$

${\sqrt[{3}]{1000}}=10,~{\sqrt[{3}]{1331}}=11,~{\sqrt[{3}]{1728}}=12$と${\sqrt[{3}]{1361}}$に近い数を求めると、${\sqrt[{3}]{1331}}$が最も近い数であることがわかる。

計算式(1)を用いて、$(a+b)^{3}=1361,~a=11,~a^{3}=1331$として求める数$a+b$は、

$a+b=11+{\frac {1361-1331}{3\times 11^{2}}}=11.08264463\cdots$

となる。電卓により計算すると、

${\sqrt[{3}]{1361}}\fallingdotseq 11.08203137\cdots$

であり近似計算できることがわかる。

珠算による開立法

根の定位

• 立方が整数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。
• 立方が帯小数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。
• 立方が小数のとき：立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。

倍根法

例：${\sqrt[{3}]{314432}}=68$

	立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、根が2けたであることを調べる。（根の定位による）
	最後の区分された数314に含まれている立方根6を求めて、初根6をおき、初根6の3乗（$6^{3}=216$）を314から引く。
	初根6の3倍の18を、左におき、その18で残りの立方を、初根6の右４けために商を得るけたまで割る。
	54を初根6で割って次根8を求める。
	8×1=8を引く。 次根8の2乗（$8^{2}=64$）を66から引く。
	残った2に左の18を掛ける。（余りのかけ戻し）
	次根8の3乗（$8^{3}=512$）を引く。
	立方根は68である。

電卓による開立法

関数電卓でない普通の電卓でも、開平を行う√キーさえあれば立方根を求めることができる。

• まず与えられた数を入力し、×=の順にキーを押す。ただしカシオの電卓に限り、××と押す（定数計算モードを示す「K」が表示される）。
• √√と押す。このときに表示された数値の末尾数桁を記憶しておく。
• 次に=を押す。定数計算により、表示された数に最初の数が掛けられる。
• また√√と押す。表示された数値の末尾数桁が先程と同じ数値であれば、その数値が立方根となる。同じでなければ前項に戻って繰り返す。

関連項目

• 開平法