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閉凸函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

数学において、函数 (へい、: closed)であるとは、各 に対して劣位集合 閉集合であることをいう。

また同値であるが、 で定義されるエピグラフが閉であるとき、函数 は閉となる。

この定義はすべての函数に対して適用されるものであるが、ほとんどは凸函数に対して使われている。真凸函数が閉であるための必要十分条件は、それが下半連続であることである。真凸函数ではない凸函数に対して、函数の「閉包」とは定義の上で異なる点がある[要出典]

性質

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  • 連続で、集合 が閉なら、函数 も閉である。
  • 閉真凸函数 f は、hf を満たすすべてのアフィン函数 hf のアフィン劣函数と呼ばれる)の集合の各点毎の上限である。

参考文献

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  • Boyd, Lieven Vandenberghe and Stephen (2004). Convex optimization. New York: Cambridge. pp. 639-640. ISBN 978-0521833783. https://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf 
  • Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6