重調和方程式

数学における重調和方程式（英: biharmonic equation）とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である：

\nabla ^{4}\varphi =\nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =\Delta ^{2}\varphi =0.

ここで $\nabla 4$ は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 $Δ$ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。

例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。

{\partial ^{4}\varphi  \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi  \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi  \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi  \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi  \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi  \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.

重調和方程式の解は重調和関数 (biharmonic function) と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。

重調和方程式は連続体力学の分野（線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など）において現れる。

2次元空間

2次元の場合の一般解は

xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)

ここで $u(x,y),v(x,y),w(x,y)$ は調和関数で $v(x,y)$ は $u(x,y)$ の調和共役である。

2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける：

\operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))

ここで $f(z)$ と $g(z)$ は解析関数である。

2次元の極座標系では、重調和方程式は

{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0

となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はミッシェル解（英語版）と呼ばれる。

$n$ 次元ユークリッド空間において、

\nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}

ただし

r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

は、 $n = 3, 5$ のときのみ、重調和方程式となる。

Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, ISBN 1-58488-347-2 .
Hayek, S.I. (2000), Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0466-5 .
Den Hartog, J. P. (July 1st, 1987). Advanced Strength of Materials. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9 .