西山の定理

西山の定理（にしやまのていり、英語: Nishiyama's theorem）は、1982年に西山豊が考案した不動点の作図に関する、エレガントな不動点の作図法である^[1]。

概要

正方形ABCDの上に合同な正方形A'B'C'D'が任意に重なっているとき、これらを重ね合わせるための中心は、合同変換における不動点となる。この不動点は図１のように辺ABと辺A'B'の交点をP、辺CDと辺C'D'の交点をQ、辺BCと辺B'C'の交点R、辺DAと辺D'A'の交点をSとするとき、直線PQと直線RSの交点Fが不動点となる。
直線PQと直線RSは直交している。
ユークリッド幾何学による不動点の作図法では、コンパスと定規を用いるが、西山による方法は定規だけで作図できることに特徴がある。
合同な正方形の場合は、不動点の数は４個あり、この４個の不動点は一直線上に並ぶ。
合同な円が任意に重なっているとき、これらを重ね合わせるための中心（不動点）は、２つの円の交線上の任意の点となる^[2]。

西山の定理が発見されるヒントとなったのは、ランダム・ドット・パターンである^[3]。

証明は文献^[4]に詳しいが、手順は次のとおりである。

交わる2本の直線L1, L2があるとき、この2直線を重ね合わせるためには、回転の中心を、2直線の交点Pを通り、交角を2等分する線上にもってこなければならない。
平行な2直線L1, L2に距離の等しい平行な2直線L3, L4が交わっているとき、2直線L1, L2を2直線L3, L4に重ね合わせるためには、L1とL3の交点と, L2とL4の交点を結ぶ直線上に回転の中心をもってくることである。
正方形の４辺を重ね合わせるということは、二組の平行な２直線を同時に重ね合わせることであるから、上記を２回適用すると、それが不動点となる。

合同変換における作図法は、相似変換における作図法にそのまま拡張されることが、1989年に岡部恒治と森原則男によって発見され、証明がされた^[5]。また、西山の定理はアフィン変換の不動点にも拡張される^[6]。相似変換の不動点については、別の証明もある^[7] ^[8]。

長方形ABCDと長方形A'B'C'D'において対応する辺の交点を求める。辺ABと辺A'B'の交点をP、辺CDと辺C'D'の交点をQ、辺BCと辺B'C'の交点をR、辺DAと辺D'A'の交点をSとする。交点が求まらないときは辺を延長させること。直線PQと直線RSの交点をOとしたとき、これが相似変換の不動点になる。

^ 西山豊「折紙をそろえる」『数学セミナー』日本評論社, 1982年2月, Vol.21, No.2, face+28, 『卵はなぜ卵形か』に所収
^ 西山豊｢円を重ねる｣『数学セミナー』日本評論社, 1986年11月, Vol.25, No.11, 67-69, 『サイエンスの香り』に所収
^ 西山豊｢不動点をお見せします｣『数学セミナー』日本評論社, 1982年8月, Vol.21, No.8, face+122, 『卵はなぜ卵形か』に所収
^ 西山豊『卵はなぜ卵形か』日本評論社, 1986年, p4-p5
^ 岡部恒治「エレガントな解答をもとむ」『数学セミナー』日本評論社,1989年4月, Vol.28, No.4
^ 西山豊｢アフィン変換による不動点｣『理系への数学』現代数学社, 2002年9月, Vol.35, No.9, 74-76
^ 西山豊「相似変換の不動点」『理系への数学』現代数学社, 2008年2月, Vol.42, No.11, 4-7
^ Yutaka Nishiyama, Fixed Points in Similarity Transformations, International Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol.56, No.3, 429-438, 2009.