線型無関連

数学において、体 k のある拡大体 $\Omega$ （例えば万有体（英語版））の中での k 上の代数 A, B は次の同値な条件が成り立つときに k 上線型無関連 (linearly disjoint over k) と言われる：

(i) $(x,y)\mapsto xy$ から誘導される写像 $A\otimes _{k}B\to AB$ は単射である。
(ii) A の任意の k-基底は B 上線型独立なままである。
(iii) $u_{i},v_{j}$ が A, B の k-基底であれば、積 $u_{i}v_{j}$ は k 上線型独立である。

$\Omega$ のすべての部分代数は整域であるから、(i) ならば $A\otimes _{k}B$ は整域（特に被約）であることに注意する。

また次が成り立つ： A, B が k 上線型無関連であることと $A,B$ によってそれぞれ生成される $\Omega$ の部分体が k 上線型無関連であることは同値である。（cf. 体のテンソル積）

A, B が k 上線型無関連とする。 $A'\subset A$ , $B'\subset B$ が部分代数であれば、 $A'$ と $B'$ は k 上線型無関連である。逆に、代数 A, B の任意の有限生成部分代数が線型無関連であれば、A, B は線型無関連である（なぜならば条件は元の有限集合しか含まないからである）。