累積的階層

数学、特に集合論において、累積的階層（るいせきてきかいそう、Cumulative hierarchy）とは順序数 $\alpha$ で添え字づけられた集合 $W_{\alpha }$ の族で、以下を満たすものを指す。

$W_{\alpha }\subseteq W_{\alpha +1}$
$\lambda$ が極限順序数のとき、 ${\textstyle W_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }W_{\alpha }}$

場合によって、 $W_{\alpha +1}\subseteq {\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ であることや、 $W_{0}\neq \emptyset$ であることを条件に入れることもある。^[要出典]

累積的階層をなしている ${\textstyle W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm {On} }W_{\alpha }}$ の和はしばしば集合論のモデルになる。^[要出典]

単純に"累積的階層"と言った場合、フォン・ノイマン宇宙の累積的階層 $\mathrm {V} _{\alpha }$ を指すことが多い。これは $\mathrm {V} _{\alpha +1}={\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ で定めるものであり Zermelo (1930) で導入された。

反映原理

累積的階層は反映原理の一形態を次のような形で満たす: 集合論のいかなる論理式も、それが累積的階層の総和 $W$ で成立するのならば、あるステージ $W_{\alpha }$ でも成立している。

例

フォンノイマン宇宙は累積的階層 $\mathrm {V} _{\alpha }$ によって構成される。
構成可能宇宙の $\mathrm {L} _{\alpha }$ も累積的階層をなしている。
強制法によって構成されるブール値モデルも累積的階層を用いて構成される。
何かしらの集合論のモデル (正則性公理は満たしていないかもしれない) の整礎的集合全体は累積的階層をなし、その中では正則性公理が成立する。

参考文献