数演算子

量子力学において数演算子（すうえんざんし）、個数演算子（こすうえんざんし）あるいは粒子数演算子（りゅうしすうえんざんし、英: particle number operator）とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。

定義

生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。

$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1$

数演算子は以下のように定義される。

${\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$

性質

エルミート性

数演算子${\hat {N}}$はエルミート演算子である。

証明
数演算子の定義${\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$、エルミート演算子の性質$(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$と、$(A^{\dagger })^{\dagger }=A$より、 ${\hat {N}}^{\dagger }=({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }({\hat {a}}^{\dagger })^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}={\hat {N}}$

生成消滅演算子との交換関係

数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。

$[{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}$

$[{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger }$

証明

交換関係の性質として$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$が成り立つ。ここへ$A={\hat {a}}^{\dagger }$、$B={\hat {a}}$、$C={\hat {a}}$を代入すると、 $[{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}},{\hat {a}}]={\hat {a}}^{\dagger }[{\hat {a}},{\hat {a}}]+[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]{\hat {a}}$ 数演算子の定義${\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$、交換関係の性質$[{\hat {a}},{\hat {a}}]=0$、生成消滅演算子の定義$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1$を代入すると、 $[{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}$ 2つ目の式についても同様。

固有値は非負

数演算子の固有値方程式は、

${\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle$

この固有値$N$は非負である。

証明
固有値方程式${\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle$の左から$\langle N|$をかけると、 $\langle N|{\hat {N}}|N\rangle =N\langle N|N\rangle$ 数演算子の定義${\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$、固有ベクトルの規格化$\langle N|N\rangle =1$を代入すると、 $\langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =N$ この左辺は $\langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}\geq 0$

固有ベクトルへの消滅演算子の作用

数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、

${\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle$

証明

$[{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}$の両辺に$|N\rangle$をかけると、 ${\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle -{\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle =-{\hat {a}}|N\rangle$ 左辺第2項を右辺に移項すると、 ${\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle &={\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&={\hat {a}}N|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&=(N-1){\hat {a}}|N\rangle \\\end{aligned}}$ この式は、${\hat {N}}$の固有値$N-1$に対する固有ベクトル$|N-1\rangle$が${\hat {a}}|N\rangle$であることを言っている。 ただし${\hat {a}}|N\rangle$は規格化されていないので、より正確にいえば比例している。 ${\hat {a}}|N\rangle =c|N-1\rangle$ 上述の$||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}=N$に代入すると$|c|^{2}=N$なので、正に選べば $c={\sqrt {N}}$ よって ${\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle$

固有値は整数

数演算子の固有値は整数である。

証明
固有値$N$が整数でないとする。 上述のように、ある固有値$N$に対する固有ベクトル$|N\rangle$に消滅演算子を作用させると$|N-1\rangle$ができる。 ${\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle$ よって消滅演算子をくり返し作用させていくと、いつかは$N<0$である$|N\rangle$が作れてしまい、$N$の非負性と矛盾する。 固有値$N$が整数だと、$N=0$に対する固有ベクトル$|0\rangle$に消滅演算子が作用すると以下のようにベクトルは消えてしまい、$N<0$の$|N\rangle$が作れないことがわかる。 ${\hat {a}}|0\rangle =0$ よって$N$の非負性と整合している。

よって数演算子の固有値は非負の整数である。

固有ベクトルへの生成演算子の作用

固有ベクトルに生成演算子が作用すると、

${\hat {a}}^{\dagger }|N\rangle ={\sqrt {N+1}}|N+1\rangle$

となる。真空状態$|0\rangle$に生成演算子N回作用させた場合は、

$({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle ={\sqrt {N!}}|N\rangle$

よって、

$|N\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle$

n粒子状態

数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 |Ψ⟩_ν は1粒子基底状態 |Ψ_i⟩ から成る。

$|\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }$

ここで数演算子を生成消滅演算子 ˆa^†(φ_i), ˆa(φ_i) を用いて以下のように定義する。

${\hat {N_{i}}}{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})$

数演算子は以下の性質を持つ。

${\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }$

ここで N_i は状態 |ψ_i⟩ の粒子の数である。

証明

${\begin{aligned}{\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{aligned}}$ よって ${\begin{aligned}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&={\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\end{aligned}}$

参考文献

• 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。 
• Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6 
• Second quantization notes by Fradkin

関連項目

• 調和振動子
• 第二量子化
• 場の量子論
• 粒子数