算術の超準モデル （さんじゅつのちょうじゅんモデル、英 : non-standard model of arithmetic ）とは、（一階 ）ペアノ算術 のモデルのうち、通常の自然数 ではない元 （超準数 ）を含むようなモデルのことである。それに対し、通常の自然数
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
標準モデル と呼ばれる。ペアノ算術の任意のモデルは線形順序 で並んでおり、
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
算術の超準モデルの存在を証明 する方法はいくつか存在する。
コンパクト性定理 を用いて超準モデルの存在を示すことができる。証明の概略は、
c
{\displaystyle c}
P
A
{\displaystyle \mathrm {PA} }
{
n
<
c
:
n
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{n<c:n=1,2,3,...\}}
無限 個の公理 を付け加えた公理系
P
A
∗
{\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }}
P
A
∗
{\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }}
N
∗
{\displaystyle \mathbb {N} ^{\ast }}
[ 1]
P
A
∗
{\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }}
c
{\displaystyle c}
P
A
∗
{\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }}
c
{\displaystyle c}
N
∗
{\displaystyle \mathbb {N} ^{\ast }}
P
A
∗
{\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }}
T
{\displaystyle T}
T
{\displaystyle T}
P
A
{\displaystyle \mathrm {PA} }
n
1
<
c
,
n
2
<
c
,
…
,
n
m
<
c
{\displaystyle n_{1}<c,n_{2}<c,\ldots ,n_{m}<c}
n
1
<
n
2
<
⋯
<
n
m
{\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{m}}
c
{\displaystyle c}
n
m
+
1
{\displaystyle n_{m}+1}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
T
{\displaystyle T}
不完全性定理 により、標準モデルでは真であるがペアノの公理系においては決定不能 であるような文（ゲーデル文）
G
{\displaystyle G}
完全性定理 より、ペアノの公理系
P
A
{\displaystyle \mathrm {PA} }
¬
G
{\displaystyle \lnot G}
G
{\displaystyle G}
¬
G
{\displaystyle \lnot G}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
算術が無矛盾であると仮定すれば、算術に
¬
G
{\displaystyle \lnot G}
¬
G
{\displaystyle \lnot G}
¬
G
{\displaystyle \lnot G}
算術の超準モデルを構成するもうひとつの方法は超積 に基づくものである。典型的な構成では自然数列全体の成す集合
N
N
{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}
超フィルター に属す添字集合の上で一致するときである。このようにして得られた半環 は算術の超準モデルとなる。これは超自然数 と同一視出来る。
超積モデルは非可算となることが知られている。このことを見るには
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
レーヴェンハイム-スコーレムの定理 により、算術の可算な超準モデルが存在しなければならない。構成法の一つとしてヘンキン構成 を用いた方法がある。
・定理
算術の超準モデルの順序構造は、ある端点を持たない稠密全順序集合
Q
{\displaystyle {\mathcal {Q}}}
N
⊕
Z
×
Q
{\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} \times {\mathcal {Q}}}
特に、可算超準モデルの場合、上の表示において、
Q
{\displaystyle {\mathcal {Q}}}
範疇性 より、
Q
{\displaystyle {\mathcal {Q}}}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
N
⊕
Z
×
Q
{\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} \times \mathbb {Q} }
・証明
いま
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
n
{\displaystyle n}
∀
x
(
⋀
k
=
0
n
(
x
≠
n
)
→
n
<
x
)
{\displaystyle \forall x\left(\bigwedge _{k=0}^{n}(x\neq n)\to n<x\right)}
が証明可能である。したがって
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
M
=
N
⊕
(
M
∖
N
)
{\displaystyle M=\mathbb {N} \oplus (M\setminus \mathbb {N} )}
次に
M
′
=
M
∖
N
{\displaystyle M'=M\setminus \mathbb {N} }
M
′
{\displaystyle M'}
x
E
y
⟺
x
−
y
∈
Z
{\displaystyle xEy\iff x-y\in \mathbb {Z} }
n
{\displaystyle n}
x
=
y
+
n
{\displaystyle x=y+n}
y
=
x
+
n
{\displaystyle y=x+n}
を考える。これは同値関係となる。各々の同値類は
[
x
]
=
{
x
+
n
|
n
∈
Z
}
{\displaystyle \left[x\right]=\{x+n|n\in \mathbb {Z} \}}
の形をしていることが分かる。商集合
Q
=
M
′
/
E
{\displaystyle {\mathcal {Q}}=M'/E}
[
x
]
≪
[
y
]
⟺
x
<
y
and
y
−
x
∈
M
′
{\displaystyle \left[x\right]\ll \left[y\right]\iff x<y{\text{ and }}y-x\in M'}
で定めると、これはwell-defined であって、全順序 となることが分かる。このとき、
M
′
{\displaystyle M'}
u
,
v
{\displaystyle u,v}
u
<
v
{\displaystyle u<v}
[
u
]
=
[
v
]
{\displaystyle \left[u\right]=\left[v\right]}
u
=
x
+
n
,
v
=
x
+
m
{\displaystyle u=x+n,v=x+m}
n
<
m
{\displaystyle n<m}
[
u
]
≪
[
v
]
{\displaystyle \left[u\right]\ll \left[v\right]}
したがって
M
′
{\displaystyle M'}
Z
×
Q
{\displaystyle \mathbb {Z} \times {\mathcal {Q}}}
逆辞書式順序 となっている。
最後に
Q
{\displaystyle {\mathcal {Q}}}
x
∈
M
′
{\displaystyle x\in M'}
[
x
]
≪
[
2
x
]
{\displaystyle \left[x\right]\ll \left[2x\right]}
x
{\displaystyle x}
y
∈
M
{\displaystyle y\in M}
x
=
2
y
,
2
y
+
1
{\displaystyle x=2y,2y+1}
y
∈
M
′
{\displaystyle y\in M'}
[
y
]
≪
[
x
]
{\displaystyle \left[y\right]\ll \left[x\right]}
Q
{\displaystyle {\mathcal {Q}}}
x
,
y
∈
M
′
{\displaystyle x,y\in M'}
[
x
]
≪
[
y
]
{\displaystyle \left[x\right]\ll \left[y\right]}
x
+
y
{\displaystyle x+y}
z
∈
M
{\displaystyle z\in M}
x
+
y
=
2
z
,
2
z
+
1
{\displaystyle x+y=2z,2z+1}
z
∈
M
′
{\displaystyle z\in M'}
[
x
]
≪
[
z
]
≪
[
y
]
{\displaystyle \left[x\right]\ll \left[z\right]\ll \left[y\right]}
Q
{\displaystyle {\mathcal {Q}}}
以上より、
M
=
N
⊕
Z
×
Q
{\displaystyle M=\mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} \times {\mathcal {Q}}}
Q
{\displaystyle {\mathcal {Q}}}
田中一之 『数の体系と超準モデル』裳華房、2002年4月。ISBN 978-4-7853-1530-6 。 訂正表 (PDF ) Boolos, G.; Jeffrey, R. (1974), Computability and Logic , Cambridge University Press, ISBN 0-521-38923-2 Kossak, Roman; Schmerl, James H. (2006), The Structure of Nonstandard Models of Arithmetic , Oxford Logic Guides, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856827-8 Skolem, Th. (1934), “Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen” , Fundamenta Mathematicae 23 : 150-161, http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv23i1p15bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-fm-1934-23-1;14&qt=CHILDREN-STATELESS 
![{\displaystyle \left[x\right]=\{x+n|n\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2d0973e090be8f65ac3819368f40055c32e384)
![{\displaystyle \left[x\right]\ll \left[y\right]\iff x<y{\text{ and }}y-x\in M'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c34b781ff01babbf26c94e1a5bb4a78db6500d)
![{\displaystyle \left[u\right]=\left[v\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842aa0c711ae878526a20193363e273f45dee374)
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![{\displaystyle \left[x\right]\ll \left[2x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2ca03ec1966893ab7d0d022c9174e39012e4db)
![{\displaystyle \left[y\right]\ll \left[x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedc055e773c0e9cd9c8aa510ed98749edd20173)
![{\displaystyle \left[x\right]\ll \left[y\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c82cfdd256886e6f4cf00e5034cde628f50164f)
![{\displaystyle \left[x\right]\ll \left[z\right]\ll \left[y\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b19020bf0a9638222889f3e126543ed15940522)
