出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
場の量子論において、実空間のn点相関関数は、異なる位置での
個の場の演算子の積の平均(期待値)として定義される。
![{\displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):=\left\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int D\phi \;e^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ldots \phi (x_{n})}{\int D\phi \;e^{-S[\phi ]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b41cc4ad5b8e0e047e593c87c6f7ce18a752956)
時間依存する相関関数では、時間順序積
が含まれる。
場の量子論での相関関数はグリーン関数とも呼ばれる。
相関関数の性質[編集]
場の量子論での相関関数とその性質について以下に示す[1]。
最も単純な実時間についての相関関数は、次のように2つの演算子の積の平均をとったものである。
![{\displaystyle S_{AB}(t,t')=\langle A(t)B(t')\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d273ae53aca6a116854616b29fadf3f25bd6cfd)
ここで、場の量子論では粒子の生成・消滅が起こるため、平均
としてグランドカノニカル平均を採用する。よってハイゼンベルク描像での演算子
の時間依存性は、ハミルトニアンのみの形
ではなく、次のように化学ポテンシャルを含んだ形で決定される。
![{\displaystyle A(t)=e^{i(H-\mu N)t/\hbar }Ae^{-i(H-\mu N)t/\hbar }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e73c5ddb2552ddd24588f903bdc3b1c2f46670)
この相関関数
を具体的に計算してみると、tとt'に独立に依存するのではなく、その差t-t'の関数であることがわかる。よって以下では
と書くことにする。t'=0のときは
である。このフーリエ変換は、次のように定義される。
![{\displaystyle S_{AB}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }S_{AB}(t)e^{i\omega t}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb78bc6de855de4316d8ac998e768729eff988c6)
この相関関数のフーリエ変換は、次のような性質を持つ。
![{\displaystyle S_{BA}(\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{AB}(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08641bfe7e5a704822565294387b292513fc624)
![{\displaystyle S_{AA^{\dagger }}(\omega )\geqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa5d205a6a16d7c9d780834482932778d141d44)
![{\displaystyle S_{AB}^{*}(\omega )=S_{B^{\dagger }A^{\dagger }}(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c2a1c3a0b21ef612f0939661ad8243e7bf3c67)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|S_{AB}(\omega )|d\omega \leqq \langle AA^{\dagger }\rangle ^{1/2}\langle B^{\dagger }B\rangle ^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36f6ae98a8b46160ac441e53da3fd6ad49bce65)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|S_{AB}(\omega )|e^{\beta \hbar \omega }d\omega \leqq \langle A^{\dagger }A\rangle ^{1/2}\langle BB^{\dagger }\rangle ^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a317510d1c9e18b3d06536295a1b19ec304998f5)
このような単純な積の平均で表される相関関数の他に、以下のようなものがよく用いられる。
- 交換子または反交換子の平均:
![{\displaystyle \langle [A(t)B(t')]_{\pm }\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7b3f21bec3e4ebb6b448d401ac0d5207ad2a1a)
- 先進グリーン関数や遅延グリーン関数で用いられる。
- 時間順序積の平均:
![{\displaystyle \langle T[A(t)B(t')]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f4cf8b7fe34e6eccfac000c4152f9f48a007ac)
- 温度グリーン関数で用いられる(ただし温度グリーン関数は実時間ではなく虚時間
についてのグリーン関数である)。
関連項目[編集]
参考文献[編集]
- ^ 西川恭治, 森弘之『統計物理学 (朝倉物理学大系)』朝倉書店、2000年。ISBN 4254136803。
- Alexander Altland, Ben Simons (2006): Condensed Matter Field Theory Cambridge University Press