白川の定理

青と赤と橙と緑の三角形の面積は等しい。

白川の定理（しらかわのていり）とは幾何学の三角形に関する定理である。 当時、高校1年生だった白川昌宏が発見し、盛岡第一高等学校少年少女数学愛好会により1990年9月8日に発行された「取れたての定理です」第1巻において発表された。

定理

△ABCに正方形ABB′A″, BCC′B″, CAA′C″が外接しているとき、

△ABC=△AA′A″=△BB′B″=△CC′C″

である。

当時の証明は元の三角形が直角三角形であることが条件だったが、後に宮本次郎により一般の三角形でも成り立つことが判明した。

証明

△ABCに正方形ABB′A″, BCC′B″, CAA′C″が外接しているとき、

• △ABCの内角で ∠BAC = α

• △AA′A″の内角で ∠A′AA″ = α′

• △ABC = S, AC = AA′ = b, AB = AA″ = c

とする。

$\bigtriangleup ABC=S={\frac {1}{2}}AC\cdot AB\sin \alpha$

なので、

$\sin \alpha ={\frac {2S}{bc}}$　(1)

と表せる。

仮定より、

∠A′AC + α + ∠A″AB + α′ = 360°

が成り立つ。正方形なので

90° + α + 90° + α′ = 360°,

α + α′ = 180°,

α′ = 180° − α,

sin α′ = sin(180° − α),

sin α′ = sin α.　 (2)

(1), (2)より、△AA′A″の面積は、

${\begin{aligned}\bigtriangleup AA'A''&={\frac {1}{2}}AA'\cdot AA''\sin \alpha '\\&={\frac {1}{2}}bc\cdot {\frac {2S}{bc}}=S.\end{aligned}}$

同様に

△BB′B″=S,

△CC′C″=S.

依って、

△ABC=△AA′A″=△BB′B″=△CC′C″

は示された。

関連項目

• 高田の定理 - 白川の定理と同じ「取れたての定理です」第1巻に掲載された定理

出典

• とれたて通信 1999年9月6日 - 発見の経緯と直角三角形の時の証明
• 「取れたての定理です」第１巻
• 白川の定理 - 一般化された結論