青で示された部分が球冠の一例である。 球冠 （英語ではspherical cap, spherical domeやspherical segment of one baseという）とは、平面 により切断された球 の一部のこと。平面が球の中心を通り、球冠の高さが球体の半径 と等しいときには半球となる。
球冠の体積 と曲面の面積は、次の値を組み合わせることで計算できる。
球の半径
r
{\displaystyle r}
球冠の底の半径
a
{\displaystyle a}
球冠の高さ
h
{\displaystyle h}
球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板 の端との間の極角
θ
{\displaystyle \theta }
r
{\displaystyle r}
h
{\displaystyle h}
a
{\displaystyle a}
h
{\displaystyle h}
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta }
体積
V
=
π
h
2
3
(
3
r
−
h
)
{\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}
[ 1]
V
=
1
6
π
h
(
3
a
2
+
h
2
)
{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})}
V
=
π
3
r
3
(
2
+
cos
θ
)
(
1
−
cos
θ
)
2
{\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}}
表面積
A
=
2
π
r
h
{\displaystyle A=2\pi rh}
[ 1]
A
=
π
(
a
2
+
h
2
)
{\displaystyle A=\pi (a^{2}+h^{2})}
A
=
2
π
r
2
(
1
−
cos
θ
)
{\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}
ϕ
{\displaystyle \phi }
地理座標 における緯度 を示す場合、
θ
+
ϕ
=
π
/
2
=
90
∘
{\displaystyle \theta +\phi =\pi /2=90^{\circ }\,}
h
{\displaystyle h}
r
{\displaystyle r}
0
≤
h
≤
2
r
{\displaystyle 0\leq h\leq 2r}
h
>
r
{\displaystyle h>r}
r
{\displaystyle r}
h
{\displaystyle h}
ピタゴラスの定理 を用いて
r
{\displaystyle r}
a
{\displaystyle a}
r
2
=
(
r
−
h
)
2
+
a
2
=
r
2
+
h
2
−
2
r
h
+
a
2
,
{\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}\,,}
つまり
r
=
a
2
+
h
2
2
h
.
{\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}\,.}
となる。
これを式に代入すると
V
=
π
h
2
3
(
3
a
2
+
3
h
2
2
h
−
h
)
=
1
6
π
h
(
3
a
2
+
h
2
)
,
{\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}\left({\frac {3a^{2}+3h^{2}}{2h}}-h\right)={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})\,,}
A
=
2
π
(
a
2
+
h
2
)
2
h
h
=
π
(
a
2
+
h
2
)
.
{\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})\,.}
となる。
[ 編集 ] 以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積
V
s
e
c
{\displaystyle V_{sec}}
[ 2]
A
=
3
r
V
s
e
c
=
3
r
2
π
r
2
h
3
=
2
π
r
h
.
{\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}
直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐 の総体積を合計することに基づいている。角錐 の体積の式
V
=
1
3
b
h
′
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}
b
{\displaystyle b}
面積 で、
h
′
{\displaystyle h'}
h
′
{\displaystyle h'}
r
{\displaystyle r}
V
s
e
c
=
∑
V
=
∑
1
3
b
h
′
=
∑
1
3
b
r
=
r
3
∑
b
=
r
3
A
{\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}
緑の領域を回転させると、高さ
h
{\displaystyle h}
r
{\displaystyle r}
体積と表面積の式は次の関数
f
(
x
)
=
r
2
−
(
x
−
r
)
2
=
2
r
x
−
x
2
{\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}
x
∈
[
0
,
h
]
{\displaystyle x\in [0,h]}
を調べ、表面積に対しては回転面 の式、体積に対しては回転体 の式を用いることで導出される。
表面積は
A
=
2
π
∫
0
h
f
(
x
)
1
+
f
′
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}
である。
f
{\displaystyle f}
f
′
(
x
)
=
r
−
x
2
r
x
−
x
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}
であるから
1
+
f
′
(
x
)
2
=
r
2
2
r
x
−
x
2
{\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}
となる。よって表面積の式は
A
=
2
π
∫
0
h
2
r
x
−
x
2
r
2
2
r
x
−
x
2
d
x
=
2
π
∫
0
h
r
d
x
=
2
π
r
[
x
]
0
h
=
2
π
r
h
{\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}
となる。体積は
V
=
π
∫
0
h
f
(
x
)
2
d
x
=
π
∫
0
h
(
2
r
x
−
x
2
)
d
x
=
π
[
r
x
2
−
1
3
x
3
]
0
h
=
π
h
2
3
(
3
r
−
h
)
{\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}
となる。
半径
r
1
{\displaystyle r_{1}}
r
2
{\displaystyle r_{2}}
和集合 の体積は[ 3]
V
=
V
(
1
)
−
V
(
2
)
,
{\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}
ここで
V
(
1
)
=
4
π
3
r
1
3
+
4
π
3
r
2
3
{\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}
は2つの独立した球の体積の合計で
V
(
2
)
=
π
h
1
2
3
(
3
r
1
−
h
1
)
+
π
h
2
2
3
(
3
r
2
−
h
2
)
{\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}
は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。
d
≤
r
1
+
r
2
{\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}
h
1
{\displaystyle h_{1}}
h
2
{\displaystyle h_{2}}
[ 4] [ 5]
V
(
2
)
=
π
12
d
(
r
1
+
r
2
−
d
)
2
(
d
2
+
2
d
(
r
1
+
r
2
)
−
3
(
r
1
−
r
2
)
2
)
.
{\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}
となる。
2つの平行な平板で囲まれた球台の表面積は、それぞれの球冠の表面積の差である。半径
r
{\displaystyle r}
h
1
{\displaystyle h_{1}}
h
2
{\displaystyle h_{2}}
A
=
2
π
r
|
h
1
−
h
2
|
,
{\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}
であり、地理座標である緯度
ϕ
1
{\displaystyle \phi _{1}}
ϕ
2
{\displaystyle \phi _{2}}
[ 6]
A
=
2
π
r
2
|
sin
ϕ
1
−
sin
ϕ
2
|
,
{\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}
となる。例えば、地球を半径6371 kmの球と仮定すると、北極（2016年8月現在、北極圏である緯度66.56°より北[ 7] π ·63712 |sin 90° − sin 66.56°| = 2104万km2 で、地球の総表面積の0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125%である。
この式を用いることで、地球の表面積の半分が南緯30°と北緯30°の間にあることを示すことができる。この範囲は熱帯 を包含する。
回転楕円体のドーム(spheroidal dome )は、ドームが円対称（回転軸を持つ）になるように回転楕円体 の一部を切り取ることで得られる。楕円体 から楕円体のドームも同様に得られる。
一般的に、
n
{\displaystyle n}
h
{\displaystyle h}
r
{\displaystyle r}
n
{\displaystyle n}
[ 8]
V
=
π
n
−
1
2
r
n
Γ
(
n
+
1
2
)
∫
0
arccos
(
r
−
h
r
)
sin
n
(
t
)
d
t
{\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}
で与えられる。ここで
Γ
{\displaystyle \Gamma }
ガンマ関数 ）は
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}
V
{\displaystyle V}
球体 単位の体積
C
n
=
π
n
/
2
/
Γ
[
1
+
n
2
]
{\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}}
超幾何関数
2
F
1
{\displaystyle {}_{2}F_{1}}
不完全ベータ関数
I
x
(
a
,
b
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)}
V
=
C
n
r
n
(
1
2
−
r
−
h
r
Γ
[
1
+
n
2
]
π
Γ
[
n
+
1
2
]
2
F
1
(
1
2
,
1
−
n
2
;
3
2
;
(
r
−
h
r
)
2
)
)
=
1
2
C
n
r
n
I
(
2
r
h
−
h
2
)
/
r
2
(
n
+
1
2
,
1
2
)
{\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}
表面積の式
A
{\displaystyle A}
A
n
=
2
π
n
/
2
/
Γ
[
n
2
]
{\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}
A
=
1
2
A
n
r
n
−
1
I
(
2
r
h
−
h
2
)
/
r
2
(
n
−
1
2
,
1
2
)
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}
と表すことができる。ここで
0
≤
h
≤
r
{\displaystyle 0\leq h\leq r}
それより前に[ 9]
A
=
A
n
p
n
−
2
(
q
)
,
V
=
C
n
p
n
(
q
)
{\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q)}
q
=
1
−
h
/
r
(
0
≤
q
≤
1
)
,
p
n
(
q
)
=
(
1
−
G
n
(
q
)
/
G
n
(
1
)
)
/
2
{\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2}
G
n
(
q
)
=
∫
0
q
(
1
−
t
2
)
(
n
−
1
)
/
2
d
t
{\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt}
奇数
n
=
2
k
+
1
:
{\displaystyle n=2k+1:}
G
n
(
q
)
=
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
(
k
i
)
q
2
i
+
1
2
i
+
1
{\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
q
n
=
const.
{\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const.}}}
p
n
(
q
)
→
1
−
F
(
q
n
)
{\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}
F
(
)
{\displaystyle F()}
正規分布 の積分）であることが示されている[ 10]
より定量的な方法でこれを書くと[ 11]
A
/
A
n
=
n
Θ
(
1
)
⋅
[
(
2
−
h
/
r
)
h
/
r
]
n
/
2
{\displaystyle A/A_{n}=n^{\Theta (1)}\cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
(
1
−
h
/
r
)
4
⋅
n
=
O
(
1
)
{\displaystyle (1-h/r)^{4}\cdot n=O(1)}
n
Θ
(
1
)
⋅
e
−
(
1
−
h
/
r
)
2
n
/
2
{\displaystyle n^{\Theta (1)}\cdot e^{-(1-h/r)^{2}n/2}}
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![{\displaystyle x\in [0,h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa4170632cff53413f645f2ec2a07393d87fc32)
![{\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff09f518992736b25f811864b4fb9d3cf9f1660)
![{\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702ef6a354662216272326cd0d7d96284ec9f62f)
![{\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78846ef1768a2a0ea9d2da7f0d2edd9505ddcf99)
![{\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7436cbf0d55b4a778e102b3ac07e6a21d175804b)
![{\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d527e6621fb0cb20a9ab3a53c8cf47713428a62)
![{\displaystyle A/A_{n}=n^{\Theta (1)}\cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17c8a012e5d568c239d505243cdb033e29f8c0a)
