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* [http://web.archive.org/web/20090403131616/http://www.xs4all.nl/~huygensf/english/index.html de Beer, Anton, ''The Development of 31-tone Music'']（2009年4月3日時点の[[インターネット |
* [http://web.archive.org/web/20090403131616/http://www.xs4all.nl/~huygensf/english/index.html de Beer, Anton, ''The Development of 31-tone Music'']（2009年4月3日時点の[[インターネットアーカイブ|アーカイブ]]） |
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* [http://web.archive.org/web/20090219004820/http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/fokkerorg.html Fokker, Adriaan Daniel, ''Equal Temperament and the Thirty-one-keyed organ'']（2009年2月19日時点の[[インターネット |
* [http://web.archive.org/web/20090219004820/http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/fokkerorg.html Fokker, Adriaan Daniel, ''Equal Temperament and the Thirty-one-keyed organ'']（2009年2月19日時点の[[インターネットアーカイブ|アーカイブ]]） |
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* [http://web.archive.org/web/20090219000231/http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/rap31.html Rapoport, Paul, ''About 31-tone Equal Temperament'']（2009年2月19日時点の[[インターネット |
* [http://web.archive.org/web/20090219000231/http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/rap31.html Rapoport, Paul, ''About 31-tone Equal Temperament'']（2009年2月19日時点の[[インターネットアーカイブ|アーカイブ]]） |
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* [http://web.archive.org/web/20090219004616/http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/terp31.html Terpstra, Siemen, ''Toward a Theory of Meantone (and 31-et) Harmony'']（2009年2月19日時点の[[インターネット |
* [http://web.archive.org/web/20090219004616/http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/terp31.html Terpstra, Siemen, ''Toward a Theory of Meantone (and 31-et) Harmony'']（2009年2月19日時点の[[インターネットアーカイブ|アーカイブ]]） |
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* Barbieri, Patrizio. [http://www.patriziobarbieri.it/1.htm Enharmonic instruments and music, 1470-1900]. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice |
* Barbieri, Patrizio. [http://www.patriziobarbieri.it/1.htm Enharmonic instruments and music, 1470-1900]. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice |
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2017年9月5日 (火) 04:04時点における版
31平均律（または tricesimoprimal としても知られる）は、31-TET, 31-EDO, 31-ET, とも略称され、オクターブを31段の等間隔な(等しい周波数比)ステップに分割することにより得られる音律である。各ステップは( ) 、または38.71セントである。
![{\displaystyle {\sqrt[{31}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e0b011d4f765d16e6e8e88acc54ac88718484f)
歴史
オクターブの31段への分割は、レッサー・ディエシス（オクターブと3重の長3度の比、128:125 あるいは 約41.06セント） は、ほぼ全音の1/5、あるいは半音の1/3である、というルネッサンス音楽理論から自然に起こった。 1666年にLemme Rossiが最初にこの平均律を提案した。 その後まもなく、独自にそれを発見した有名な科学者クリスティアーン・ホイヘンスがこれに関し記述した。
この時代の標準的な調律のシステムが、5度が51/4に調整される1/4コンマ中全音律であったが、31平均律はそれよりもわずかに約0.19セント広いだけの約696.77セントの音程を持つ。
ホイヘンスは、31平均律が7限界和声の素晴らしい近似を提供することに注目した。このことは当時先進的な洞察であった。
20世紀に至り、物理学者であり音楽理論家・作曲家でもあるAdriaan Fokkerは、ホイヘンスの著述を読み、この調律システムに対する関心の復活を導いた。
スケール図
これはスケールにおける31音程のうちの21である:
| 間隔 セント | 77 | 39 | 77 | 39 | 39 | 39 | 77 | 39 | 77 | 77 | 39 | 77 | 39 | 39 | 39 | 77 | 39 | 77 | 77 | 39 | 77 | |||||||||||||||||||||||
| 音名 | A | A# | B♭ | B | C♭ | B# | C | C# | D♭ | D | D# | E♭ | E | F♭ | E# | F | F# | G♭ | G | G# | A♭ | A | ||||||||||||||||||||||
| 音程 セント | 0 | 77 | 116 | 194 | 232 | 271 | 310 | 387 | 426 | 503 | 581 | 619 | 697 | 735 | 774 | 813 | 890 | 929 | 1006 | 1084 | 1123 | 1200 | ||||||||||||||||||||||
残りの十の音を加えることができる。例えば、5つの「重変」音および5つの「重嬰」音、あるいは四分音システムと同様に半嬰音や半変音を加える。
音程
ここに、幾つかの一般的な音程がある:
| 音程名 | サイズ(段) | サイズ(セント) | 純正比 | 純正(セント) | 誤差 |
| 自然七度 | 25 | 967.74 | 7:4 | 968.83 | −1.09 |
| 完全五度 | 18 | 696.77 | 3:2 | 701.96 | −5.19 |
| 広い七限界の三全音 | 16 | 619.36 | 10:7 | 617.49 | +1.87 |
| 狭い七限界の三全音 | 15 | 580.65 | 7:5 | 582.51 | −1.86 |
| 十一限界の三全音,第11倍音 | 14 | 541.94 | 11:8 | 551.32 | −9.38 |
| 完全四度 | 13 | 503.23 | 4:3 | 498.04 | +5.19 |
| 十三限界の増三度または広い長三度 | 12 | 464.52 | 13:10 | 454.21 | +10.31 |
| 七限界の長三度 | 11 | 425.81 | 9:7 | 435.08 | −9.27 |
| 十一限界の長三度 | 11 | 425.81 | 14:11 | 417.51 | +8.30 |
| 長三度,純正 | 10 | 387.10 | 5:4 | 386.31 | +0.79 |
| 十一限界の中立三度 | 9 | 348.39 | 11:9 | 347.41 | +0.98 |
| 短三度,純正 | 8 | 309.68 | 6:5 | 315.64 | −5.96 |
| 七限界の短三度 | 7 | 270.97 | 7:6 | 266.87 | +4.10 |
| 七限界の全音 | 6 | 232.26 | 8:7 | 231.17 | +1.09 |
| 全音,大全音 | 5 | 193.55 | 9:8 | 203.91 | −10.36 |
| 全音,小全音 | 5 | 193.55 | 10:9 | 182.40 | +11.15 |
| 大きな十一限界の中立二度 | 4 | 154.84 | 11:10 | 165.00 | −10.16 |
| 小さな十一限界の中立二度 | 4 | 154.84 | 12:11 | 150.64 | +4.20 |
| 七限界の全音階的半音 | 3 | 116.13 | 15:14 | 119.44 | −3.31 |
| 全音階的半音,純正 | 3 | 116.13 | 16:15 | 111.73 | +4.40 |
| 半音階的半音,純正 | 2 | 77.42 | 25:24 | 70.67 | +6.75 |
| 十一限界のディエシス | 1 | 38.71 | 45:44 | 38.91 | −0.20 |
| 七限界のディエシス | 1 | 38.71 | 49:48 | 35.70 | +3.01 |
12平均律の中におおよその適合がなく、しかも19平均律では適合不良しかない7:6、8:7、および7:5の比率に、31平均律は非常に近い適合を示す。
特に、調和級数の7番目と11番目の部分音に対する良い一致のために、作曲家Joel Mandelbaum(1932年生まれ)は、この調律系を使用した。[1]
この調律は中全音律であると考えることができる。そこには、4重の5度の重なりが長3度と同じであるという必要な特性がある。 また、小全音と大全音の10:9と9:8のサイズの中間にある"中全音"を含む。
脚注
- ^ Six American Composers on Nonstandard Tunnings: Douglas Keislar; Easley Blackwood; John Eaton; Lou Harrison; Ben Johnston; Joel Mandelbaum; William Schottstaedt Perspectives of New Music, Vol. 29, No. 1. (Winter, 1991), pp. 176-211.
外部リンク
- de Beer, Anton, The Development of 31-tone Music（2009年4月3日時点のアーカイブ）
- Fokker, Adriaan Daniel, Equal Temperament and the Thirty-one-keyed organ（2009年2月19日時点のアーカイブ）
- Rapoport, Paul, About 31-tone Equal Temperament（2009年2月19日時点のアーカイブ）
- Terpstra, Siemen, Toward a Theory of Meantone (and 31-et) Harmony（2009年2月19日時点のアーカイブ）
- Barbieri, Patrizio. Enharmonic instruments and music, 1470-1900. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice