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比例式(ひれいしき)とは、比あるいは連比に関する等式のことである。
A に対する B の割合が、X に対する Y の割合に等しいとき、
![{\displaystyle A:B=X:Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a09b2dcf6cffbc3d2b8f6e483e29ff0c79f2783)
と書く。すなわち、ある比とある比が等しいとき、このように比と比を等号で結んだものを比例式という
A : B = X : Y すなわち、二つの比 A : B と X : Y が等しいとは、B に対する A の割合が、Y に対する X の割合に等しいことであると定義すると、これはすなわち
![{\displaystyle {A \over B}={X \over Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1bbe9907e9b370d159a5e393185c9d7af3af19)
なる分数の等式が成り立つことである。これは
![{\displaystyle A:B=X:Y\iff {B \over A}={Y \over X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53663539a0354113aca3dd2b74de5259f52e630)
あるいは
![{\displaystyle A:B=X:Y\iff {A \over X}={B \over Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0128117a35d5df35e877a3e18f8a703340363e5a)
と定義しても同じである。このように定義される比の等式 A : B = X : Y あるいは分数の等式 A / B = X / Y を比例式という。また、連比が等しいとは、
![{\displaystyle A_{1}:A_{2}:\cdots :A_{n}=X_{1}:X_{2}:\cdots :X_{n}\iff {A_{1} \over X_{1}}={A_{2} \over X_{2}}=\cdots ={A_{n} \over X_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fbac60c3cbe287013feeef7db20e3eb73b8575)
と定義され、比の場合と同様に等式
![{\displaystyle A_{1}:A_{2}:\cdots :A_{n}=X_{1}:X_{2}:\cdots :X_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7866e118416621b7193299ef3b8fc5e943ab267e)
または
![{\displaystyle {A_{1} \over X_{1}}={A_{2} \over X_{2}}=\cdots ={A_{n} \over X_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94996dc6399663ea521776a6c5069eba1b8b35d5)
のことを比例式とよぶ。
比例式
![{\displaystyle {A_{1} \over X_{1}}={A_{2} \over X_{2}}=\cdots ={A_{n} \over X_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94996dc6399663ea521776a6c5069eba1b8b35d5)
の値を c とすると
![{\displaystyle {A_{1} \over X_{1}}=c,\ {A_{2} \over X_{2}}=c,\ldots ,{A_{n} \over X_{n}}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89ee5c8959c6243a076a362be55eb77b34becb1)
が成り立つから、これを連立一次方程式
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}A_{1}=cX_{1},\\A_{2}=cX_{2},\\\vdots \quad \\A_{n}=cX_{n}.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6428341187c0a227606e5ca8cbb2ee252db1b419)
の形に表示することができる。
比例式には、次のような性質がある。
![{\displaystyle A:B=X:Y\iff B:A=Y:X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31af149c8362cc627133a2fad02bb7c34e8f2da2)
- 外項の積と内項の積が等しい(分数式で考えた場合、たすきに掛けた積が等しい)。
![{\displaystyle A:B=X:Y\iff AY=BX.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a409c10fc2ed271dce77ac1f6278e67215facb81)