正規様相論理

論理学において、正規様相論理（せいきようそうろんり、normal modal logic）とは、以下の条件を満たす様相論理式（modal formulas）の集合 L である。

• 命題論理のすべての恒真式を含む。
• クリプキスキーマ($\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$)のすべてのインスタンスを含む。
• 以下の規則の下で閉じている。
  • 分離規則(モーダスポネンス): $A\to B,A\in L$ ならば $B\in L$。
  • 必然化規則: $A\in L$ ならば $\Box A\in L$。

上記の条件を満たす最小の論理はKと呼ばれる。今日一般的に使用されている(哲学的な動機付けを持つ)様相論理のほとんど、例えばC・I・ルイスのS4やS5は、正規である(したがってKの拡張である)。しかし、いくつかの義務論理や認識論理は、クリプキスキーマを放棄することがあるため、正規ではない。

すべての正規様相論理は正則であり、したがって古典的である。

一般的な正規様相論理

次の表は、一般的な正規様相システムをいくつか示したものである。表記法は、クリプキ意味論 § 一般的な様相公理スキーマの表を参照のこと。いくつかのシステムのフレーム条件は簡略化されている。つまり論理は表に示されたフレームクラスに対して健全かつ完全であるが、より大きなフレームクラスに対応する可能性がある。

名前	公理	フレーム条件
K	—	すべてのフレーム
T	T	反射的
K4	4	推移的
S4	T, 4	前順序
S5	T, 5 または D, B, 4	同値関係
S4.3	T, 4, H	全擬順序 (total preorder。推移関係や完全関係も参照)
S4.1	T, 4, M	前順序, $\forall w\,\exists u\,(w\,R\,u\land \forall v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))$
S4.2	T, 4, G	有向前順序
GL, K4W	GL または 4, GL	有限な狭義の半順序
Grz, S4Grz	Grz または T, 4, Grz	有限な半順序
D	D	連続的
D45	D, 4, 5	推移的、連続、かつユークリッド的

参考文献

• Alexander Chagrov and Michael Zakharyaschev, Modal Logic, vol. 35 of Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.