極限定理

極限定理(きょくげんていり,英: limit theorems)とは塑性変形における極限解析の基礎となる定理で、上界定理（じょうかいていり、Upper bound theorem）と下界定理（かかいていり、Lower bound theorem）がある。また、確率・統計学では、中央極限定理がある。中央極限定理の特別な場合が、Laplaceの極限定理（ラプラスの定理）である。

上界定理と下界定理により定式化された極限解析から、極限荷重の上界値と下界値をそれぞれ求めることができる。もし、極限荷重の上界値と下界値が一致すれば、それが真の極限荷重となる。構造が複雑になり、極限荷重の上界値と下界値が一致しなくても、真の極限荷重はそれらの間にあることが分かるので、およその値は推測できる。

上界定理

物体力をf_i 、応力境界面の表面力をT_i 、変位速度を${\dot {u}}_{i}$、ひずみ速度を${\dot {\varepsilon }}_{ij}$とする。

外力（f_i , T_i ）との仕事率が正となる、変位速度境界条件と変形の適合条件を満たす（運動学的に許容な）${\dot {u}}_{i},{\dot {\varepsilon }}_{ij}$について、以下の式を与える。

$\alpha {\Bigl \{}\int _{V}f_{i}{\dot {u}}_{i}dV+\int _{S_{\sigma }}T_{i}{\dot {u}}_{i}dS{\Bigr \}}=\int _{V}\sigma _{ij}{\dot {\varepsilon }}_{ij}dV$

このとき、αは真の崩壊荷重係数α^* の上界値を与える。すなわち、

$\alpha \geq \alpha ^{*}$

となる。ただし、応力σ_ij は、与えられたひずみ速度${\dot {\varepsilon }}_{ij}$に対して、直交則を満たす応力場である。

上界定理による極限解析は、運動学的制約条件（変形の適合条件と流れ則）と外力仕事率が 1 であるという条件の下で、内部消散率を最小化する最適化問題に帰着する。

下界定理

与えられた荷重系について、釣り合い式と応力境界条件を満たす（静力学的許容な）応力場が、降伏条件を破らない（静力学的可容な）とき、荷重係数は真の崩壊荷重係数の下界値を与える。すなわち、

$\alpha \leq \alpha ^{*}$

となる。ここで、αは荷重係数、α^* は真の崩壊荷重係数である。

下界定理による極限解析は、静力学的制約条件(力の釣り合い式と降伏条件)の下で、荷重係数を最大化する最適化問題に帰着する。

参考文献

• 小林昭一『構造力学(上)』培風館、1990年。 
• 岡二三夫『土質力学』朝倉書店、2003年。 
• 田村武「数値解析法総論」『地盤力学数値解析－“限界状態”の予測手法を中心として』、（社）土質工学会関西支部、1986年。 
• 田村武「剛塑性有限要素法の基礎と適用」『地盤力学数値解析－“限界状態”の予測手法を中心として』、（社）土質工学会関西支部、1986年。 
• 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。 

関連項目

• 降伏 (物理)
• 流れ則
• 最適化問題
• 塑性