普遍性

数学において普遍性（英語: universality、または universal property）とは、ある特定の状況下において一意に射（あるいは準同型、構造を保つ写像）を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成（例えば直積や直和、加群のテンソル積、距離空間の完備化など）を特徴づけるようなものをいう。

普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における自由対象（英語版）、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや押し出し（英語: pushout）、ストーン－チェックのコンパクト化などが存在する。

このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエル (en:Pierre Samuel) の論文^[1]によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる^[2]。

概要

U : D → C を圏 D から圏 C への関手とし、X をC の対象とする。X から U への普遍射 （universal morphism）は、D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。

Y がDの対象で f : X → U(Y) が C の射であるような場合、常に D の射 g : A → Y が一意に存在して、次の図を可換にする。

射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ^[3]。

Hom_{D}(A,Y)\cong Hom_{C}(X,U(Y))

また、上述の定義で全ての射を逆向きにすることで、圏論的な双対を考えることができる。U から X への普遍射は、Dの対象A とCの射 φ : U(A) → X の対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性を満たす。

Y が Dの対象で f : U(Y) → X がCの射であるような場合、常に D の射g : Y → A が一意に存在して、次の図を可換にする。

ここで、人によっては一方を普遍射と呼び、もう一方を余普遍射（co-universal property）と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。

表現可能関手による定義

エミリー・リール（Emily Riehl）は『Category Theory in Context』において、圏 $C$ の対象 $c$ に対する普遍性（英: universal property）を次のように定義している^[4]：

定義: 圏 $C$ の対象 $c$ の普遍性は、表現可能関手 $F : C \to Set$ と、米田の補題を通して自然同型 $C (c, _) ≅ F$ （または $C (_, c) ≅ F$ ）を定める普遍要素（英: universal element） $x ∊ Fc$ によって表現されるものである。
（ここで Set とは集合の圏のことである。）

定義を言い換えると、 $c ∊ C$ の普遍性とは、(表現可能)関手 $F : C \to Set$ と $x ∊ Fc$ を用いて米田の補題から定まる自然変換 $C (c, _) \to F$ が自然同型であるという性質のことである。

圏 $C$ が小さなhom集合を持つ（各対象 $x, y$ について $C (x, y) ∊ Set$ である）とき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である^[5]。

例

ベクトル空間のテンソル積

体 $K$ 上のベクトル空間 $V, W$ について、任意の双線形写像 $f : V \times W \to X$ に対して $f = f' ◦g$ を満たす準同型 $f' : T \to X$ がただ1つ存在するような $K$ -ベクトル空間 $T$ と双線形写像 $g : V \times W \to T$ の組が、同型を除いてただ1つ存在する。このときの $T$ を $V \otimes W$ と表し、 $V$ と $W$ のテンソル積と呼ぶ。

テンソル積を特徴づけるこの性質もまた普遍性と呼ばれる。実際、テンソル積の普遍性から、圏論的な普遍性が次のように与えられる：いま、 $V \times W$ からの双線形写像の集合を与える対応は関手 $Bilin(V, W; _): Vect K \to Set$ （ $Vect K$ とは $K$ -ベクトル空間とその間の線形写像からなる圏）を定める。このとき、テンソル積の普遍性から自然同型 $Vect K (V \otimes W, _) ≅ Bilin(V, W; _)$ が定まり、従って $Bilin(V, W; _)$ は表現可能関手である。双線形写像 $g : V \times W \to V \otimes W$ はこのとき、同型 $Vect K (V \otimes W, V \otimes W) ≅ Bilin(V, W; V \otimes W)$ によって恒等射が写る先として定まる^[6]。

また、カノニカルな双線形写像 $g : V \times W \to V \otimes W$ は一点集合からの写像 $ψ :＊\to Bilin(V, W; V \otimes W)$ によっても表される。いま、任意の $X ∊ Vect K$ と $h :＊\to Bilin(V, W; X)$ に対して、テンソル積の性質から $h = h' ◦ ψ$ が成り立つような準同型 $h' : V \otimes W \to X$ がただ1つ定まる。従って $h$ は一点集合から $Bilin(V, W; _)$ への普遍射である。

剰余群への射影

群 $G$ の正規部分群 $K$ について、剰余群 $G / K$ への射影を $φ : G \to G / K$ で表す。群準同型 $f : G \to H$ について、 $K$ が $f$ の核 $Ker f$ ( $f (x)$ が $H$ の単位元となる $G$ の元の集合) に含まれるとき、群の準同型定理によって $f = h ◦ φ$ を満たす群準同型 $h : G / K \to H$ がただ1つ存在することがわかる。

(小さな) 群とその間の群準同型からなる群の圏を $Grp$ で表す。群 $H$ に対して、群準同型 $f : G \to H$ であって $Ker f \subset K$ を満たすものの集合を $FH$ とおくと、この対応は関手 $F : Grp \to Set$ をなす。準同型定理の主張から、任意の $H$ に対して同型 $FH ≅ Grp (G / K, H)$ が存在して、さらに唯一性からこの同型は $H$ について自然であることがわかる。

以上のことから、剰余群 $G / K$ と剰余群への射影 $φ : G \to G / K$ は普遍性を持っていることがわかる。普遍性の帰結として、商群についての他のすべての性質は、これ以上余集合（剰余群の通常の構成で使われる $G / K$ の各要素）に言及しなくてよくなる^[7]。

ファン・カンペンの定理

位相空間 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ は、2つの開部分集合 ${\textstyle U,V\in {\mathcal {O}}_{X}}$ によって覆われるものとする。すなわち、 ${\textstyle X=U\cup V}$ が成り立つとする。このとき、共通部分 ${\textstyle U\cap V}$ からの包含写像 $U\cap V\xrightarrow {i} U\xrightarrow {j'} X$ と $U\cap V\xrightarrow {j} V\xrightarrow {i'} X$ による可換図式は、位相空間の圏 $Top$ において普遍性を持つ。すなわち、連続写像 $f : U \to Y$ と $g : V \to Y$ が $f ◦ i = g ◦ j$ を満たすとき、 $f = h ◦ j'$ と $g = h ◦ j'$ を満たすような連続写像 $h : X \to Y$ がただ1つ存在する。

よい条件（ ${\textstyle U\cap V}$ は空でなく弧状連結）の下で、この図式から誘導される基本群のなす図式は同様に普遍性を持つ^[8]。これを (基本群に関する)ファン・カンペンの定理と呼ぶ。

さまざまな普遍性

随伴関手との関係

(A₁, φ₁) を X₁ から U への普遍射、 (A₂, φ₂) を X₂ から U への普遍射とする。普遍性から、任意の射 h : X₁ → X₂ に対して一意な射 g : A₁ → A₂ が存在して、次の図式を可換にする。

もし 全ての C の対象 X_i にU への普遍射が認められるならば、X_i $\mapsto$ A_i 及び h $\mapsto$ g によってC から D への関手 Vが定義される。これに伴って、φ_i は 1_C （C の恒等関手）から U V への自然変換を定義する。関手 (V, U) は随伴関手の対となる。（V は U の左随伴、及び U は V の右随伴）

同様の言明は U からの普遍射という双対な状況においても適用できる。全ての C における X について、関手 V : C → D が得られ、これは U への右随伴になっている。（つまり U は V の左随伴である。）

実際、このような方法で全ての随伴関手の対を普遍的構成から得られる。F と G を単位（unit）η と余単位（co-unit）ε （定義は随伴関手の記事を参考のこと）によって構成される随伴関手の対とする。このとき、任意の対象 C と D への普遍射が得られる。

C の各対象 X に対し、 (F(X), η_X) は X から G への普遍射である。つまり、任意の f : X → G(Y) に対して一意な g : F(X) → Y が存在して以下の図式を可換にする。
D の各対象 Y に対し、 (G(Y), ε_Y) は F から Y への普遍射である。つまり、任意の g : F(X) → Y に対して一意な f : X → G(Y) が存在して以下の図式を可換にする。

普遍的構成は随伴関手の対より更に一般的である。普遍的構成は最適化問題のようなもので、この問題が C 中の全ての対象（同様に、D の全ての対象）について解を持つとき、かつそのときのみ随伴関手の対が得られる。

脚注

^ Samuel, P. (1948). “On universal mappings and free topological groups” (英語). Bulletin of the American Mathematical Society 54 (6): 591–598. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09052-8. ISSN 0002-9904.
^ Mac Lane 1998, p. 78
^ MacLane(1998) p.59
^ Riehl 2004, p. 62, Definition 2.3.3.
^ Mac Lane 1998, pp. 76–77. ただし『圏論の基礎』では「普遍要素」の定義はリールのものと異なっており、リールが「普遍要素」と呼んだものは (集合値)関手の表現（representation of a functor）として定義されているものと同値の概念である。
^ Riehl 2016, Example 2.3.7.
^ Mac Lane (1998, p. 57). 原文：once the cosets are used to prove this one “universal” property of $p : G \to G / N$ , all other properties of quotient groups — for example, the isomorphism theorems — can be proved with no further mention of cosets (see Mac Lane-Birkhoff [1967]).
^ Leinster 2014, pp. 6–7, Example 0.9.

参考文献

Paul M. Cohen (1981). Universal Algebra. D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8
Lainster, Tom (2014) (英語). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. arXiv:1612.09375. doi:10.1017/CBO9781107360068. ISBN 9781107044241
Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Aurora: Modern Math Originals. Dover Publications. ASIN B06XHZ82GF. ISBN 9780486809038

[1] Samuel, P. (1948). “On universal mappings and free topological groups” (英語). Bulletin of the American Mathematical Society 54 (6): 591–598. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09052-8. ISSN 0002-9904.

[2] Mac Lane 1998, p. 78

[3] MacLane(1998) p.59

[FOOTNOTERiehl200462Definition_2.3.3-4] Riehl 2004, p. 62, Definition 2.3.3.

[5] Mac Lane 1998, pp. 76–77. ただし『圏論の基礎』では「普遍要素」の定義はリールのものと異なっており、リールが「普遍要素」と呼んだものは (集合値)関手の表現（representation of a functor）として定義されているものと同値の概念である。

[FOOTNOTERiehl2016Example_2.3.7-6] Riehl 2016, Example 2.3.7.

[7] Mac Lane (1998, p. 57). 原文：once the cosets are used to prove this one “universal” property of $p : G \to G / N$ , all other properties of quotient groups — for example, the isomorphism theorems — can be proved with no further mention of cosets (see Mac Lane-Birkhoff [1967]).

[FOOTNOTELeinster20146–7Example_0.9-8] Leinster 2014, pp. 6–7, Example 0.9.

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表話編歴圏論
主要項目	圏射エピモニック図式可換図式自然変換圏同値反対圏始対象と終対象普遍性米田の補題双対極限帰納極限射影極限積余積像余像等化子余等化子トポス核余核引き戻しモナド Kan拡張
関手	加法的完全充満随伴対角忠実導来表現可能本質的全射 Hom関手
具体的圏	関手圏前加法圏集合の圏マグマの圏群の圏アーベル群の圏擬環の圏環の圏加群の圏ベクトル空間の圏多元環の圏位相空間の圏距離空間の圏多様体の圏
圏の類	完備圏コンマ圏部分圏モノイド閉圏デカルト閉圏アーベル圏導来圏クライスリ圏デカルトモノイド圏
一般化	豊穣圏 2-圏圏の圏
人物	ソーンダース・マックレーンサミュエル・アイレンベルグアレクサンドル・グロタンディークウィリアム・ローヴェアハインリッヒ・クライスリ
関連分野	代数幾何学普遍代数ホモロジー代数
関連項目	『圏論の基礎』
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